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数据结构篇--二项队列

news 来源：原创 2025/5/23 7:03:58

什么是二项树？

递归定义

  • 基础情形：阶数为0的二项树，仅包含一个节点；
  • 构造情形：阶数为k的二项树，由两个阶数为k-1的二项树构造形成，即其中一个二项树的根作为另一个二项树的根的最左孩子节点。

下面分别是0阶、1阶、2阶、3阶二项树的构造示例。
二项树示例

什么是二的幂次堆？

定义
A power-of-2 heap is a left-heap-ordered tree consisting of a root node with an empty right subtree and a complete left subtree.

一个二的幂次堆是一棵左堆序树，它的根节点有一棵空的右子树、一棵完全左子树。

解读：

  • 结构：它的根节点有一颗空的右子树，和一颗完全左子树。
  • 它是左堆序的，这意味着：它的每个节点的键值大于等于左子树中所有节点的键值。
  • 等价性：一个二的幂次堆一一对应一个二项树。

下面给出2的0次幂堆、2的1次幂堆、2的2次幂堆、2的3次幂堆的示例。
二的幂次堆

为什么一个二次幂堆对应一个二项树？

答：从二项树的根节点出发，从上到下，从左到右，依次遍历每个节点。对每个节点来说，如果它有左孩子，则左孩子就是它的左孩子节点。如果它有右兄弟，则这个右兄弟就作为它的右孩子节点。
二项树等价转换二的幂次堆

什么是二项队列？

定义
A binomial queue is a set of power-of-2 heaps, no two of the same size.
The structure of a binomial queue is determined by that queue’s number of nodes, by correspondence with the binary representation of integers.

一个二项队列是一组二的幂次堆，其中没有两个二的幂次堆有相同的大小。
一个二项队列的结构是由该队列的节点数确定的，对应于该节点数的二进制表示。

解释

  • 组成
  • 唯一性
  • 结构跟节点数的关系

如何表示一个二项队列？

  • 使用数组来存储每个二次幂堆的入口，即根节点的引用。
  • 数组的大小完全由二项队列的节点数的二进制表示的位数确定。
  • 给定二项队列的节点数的二进制表示，其中的1表示该位置上有1个二次幂堆，0表示没有。

下面给出一个节点数为13的二项堆的示例。
二项队列示意图

实现二项队列

我们旨在实现优先级队列接口PQfull.h。

我们用来实现二项队列的框架代码

  • Makefile
  • PQfull.h
  • Item.h
  • BinomialQueue.c
  • TestBinomialQueue.c

Makefile

CC = gcc
CFLAGS = -O0TestBinomialQueue: TestBinomialQueue.c BinomialQueue.c$(CC) $(CFLAGS) -o $@ $^clean:rm -f avg TestBinomialQueue

PQfull.h

/**
* FileName: PQfull.h
* ----------------------------------------------
* First-class priority-queue ADT
* ----------------------------------------------
* This interface for a priority-queue ADT provides
* - handles to items (which allow client programs to delete items and to change priorities) and
* - handles to priority queues (which allow clients to maintain multiple priority queues and to merge queues together).
*
* These types, `PQlink` and `PQ` respectively, are pointers to structures that are to * be specified in the implementation.*/#ifndef PQFULL_H
#define PQFULL_H#include "Item.h"typedef struct pq* PQ;
typedef struct PQnode* PQlink;PQ PQinit();
int PQempty(PQ);
PQlink PQinsert(PQ, Item);
Item PQdelmax(PQ);
void PQchange(PQ, PQlink, Item);
void PQdelete(PQ, PQlink);
void PQjoin(PQ, PQ);#endif //PQFULL_H

Item.h

#ifndef ITEM_H
#define ITEM_Htypedef char Item;#define key(A) (A)
#define less(A,B) (key(A) < key(B))
#define exch(A, B) { Item t = A; A = B; B = t; }#endif //ITEM_H

BinomialQueue.c

/*** FileName:BinomialQueue.c* ---------------------------------*/#include "PQfull.h"
#include <stddef.h>struct PQnode {Item key;PQlink l;PQlink r;PQlink p;
};struct pq{PQlink *bq;
};#define maxBQsize 5static PQlink z = NULL;/******************************辅助函数部分开始************************************//******************************辅助函数部分结束************************************//******************************接口实现部分开始************************************/
PQ PQinit(){//TODO
}int PQempty(PQ pq){//TODO
}PQlink PQinsert(PQ pq, Item v){//TODO
}Item PQdelmax(PQ pq){//TODO
}void PQchange(PQ pq, PQlink x, Item v){//TODO
}void PQdelete(PQ, PQlink){//TODO
}void PQjoin(PQ a, PQ b){//TODO
}/******************************接口实现部分结束************************************/

TestBinomialQueue.c

/*** FileName:TestBinomialQueue.c* ---------------------------------*/#include "PQfull.h"void test_join();
void test_insert();
void test_delmax();
void test_change();
void test_delete();int main(){return 0;
}void test_join(){//TODO
}
void test_insert(){//TODO
}
void test_delmax(){//TODO
}
void test_change(){//TODO
}
void test_delete(){//TODO
}

如何运行测试代码？

#编译
make TestBinomialQueue
#运行
./TestBinomialQueue
#清理文件
make clean

本次实验总共有5个任务，分别是：

  • PQjoin
  • PQinsert
  • PQdelmax
  • PQchange
  • PQdelete

因为可以使用PQjoin操作来实现PQinsert操作、PQdelmax操作，所以先来实现PQjoin操作。

因为可以通过调用PQchange来修改待删除节点的优先级为最大，然后调用PQdelmax操作来实现PQdelete操作，所以PQdelete操作的实现放在最后。

任务1：实现PQjoin操作

实现思路：类比1位二进制加法的操作来实现join操作。

首先，搞清楚一位二进制加法的操作都有哪些。

值CBA求和位进位
000000
100110
201010
301101
410010
510101
611001
711111

接着，实现PQjoin。

void PQjoin(PQ a, PQ b){BQjoin(a->bq, b->bq);
}#define test(C, B, A) 4*(C) + 2*(B) + 1*(A)
/*** 从右向左，依次处理每一个二次幂堆* -----------------------------* 思路：参考单比特的二进制加法操作*/
void BQjoin(PQlink *a, PQlink *b){int i;PQlink c = z;for (i = 0; i < maxBQsize; i++) {switch(test(c != z, b[i] != z, a[i] != z)){case 2:a[i] = b[i];break;case 3:c = pair(a[i], b[i]);a[i] = z;break;case 4:a[i] = c;c = z;break;case 5:c = pair(c, a[i]);a[i] = z;break;case 6:case 7:c = pair(c, b[i]);break;}}
}/*** 合并两个相同大小的二次幂堆* ----------------------------* 思路：TODO*/
PQlink pair(PQlink p, PQlink q){if (less(p->key, q->key)) {p->r = q->l;if (p->r != z) {p->r->p = p;}q->l = p;p->p = q;return q;}else {q->r = p->l;if (q->r != z) {q->r->p = q;}p->l = q;q->p = p;return p;}
}

任务2：实现PQinsert操作

实现思路：类似于让一个二进制数跟1做加法
请注意：让这个1对应一个二的0幂次堆

PQlink PQinsert(PQ pq, Item v){PQlink t = malloc(sizeof(*t));t->key = v;t->l = z;t->r = z;t->p = z;PQ tempPQ = PQinit();tempPQ->bq[0] = t;PQjoin(pq, tempPQ);return t;
}

测试PQjoin

join测试示例

void test_join(){// 队列1：I->T->NPQ pq1 = PQinit();PQinsert(pq1, 'I');PQinsert(pq1, 'T');PQinsert(pq1, 'N');assert(pq1->bq[0]->key == 'N');assert(pq1->bq[1]->key == 'T');assert(pq1->bq[1]->l->key == 'I');// 队列2： P->L->E->W->M->A->EPQ pq2 = PQinit();PQinsert(pq2, 'P');PQinsert(pq2, 'L');PQinsert(pq2, 'E');PQinsert(pq2, 'W');PQinsert(pq2, 'M');PQinsert(pq2, 'A');PQinsert(pq2, 'E');assert(pq2->bq[0]->key == 'E');assert(pq2->bq[1]->key == 'M');assert(pq2->bq[1]->l->key == 'A');assert(pq2->bq[1]->r == z);assert(pq2->bq[2]->key == 'W');assert(pq2->bq[2]->r == z);assert(pq2->bq[2]->l->key == 'P');assert(pq2->bq[2]->l->r->key == 'E');assert(pq2->bq[2]->l->l->key == 'L');PQjoin(pq2, pq1);assert(pq2->bq[0] == z);assert(pq2->bq[1]->key == 'M');assert(pq2->bq[1]->l->key == 'A');assert(pq2->bq[2] == z);assert(pq2->bq[3]->key == 'W');assert(pq2->bq[3]->r == z);assert(pq2->bq[3]->l->key == 'T');assert(pq2->bq[3]->l->l->key == 'N');assert(pq2->bq[3]->l->r->key == 'P');assert(pq2->bq[3]->l->l->l->key == 'E');assert(pq2->bq[3]->l->l->r->key == 'I');assert(pq2->bq[3]->l->r->l->key == 'L');assert(pq2->bq[3]->l->r->r->key == 'E');
}

测试PQinsert

插入示例

//向已有二项队列中插入节点N
void test_insert(){PQ pq = PQinit();// P-L-E-W-T-I-EPQinsert(pq, 'P');PQinsert(pq, 'L');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'W');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'E');// NPQinsert(pq, 'N');assert(pq->bq[0] == z);assert(pq->bq[1] == z);assert(pq->bq[2] == z);assert(pq->bq[3]->key == 'W');assert(pq->bq[3]->r == z);assert(pq->bq[3]->l->key == 'T');assert(pq->bq[3]->l->l->key == 'N');assert(pq->bq[3]->l->r->key == 'P');assert(pq->bq[3]->l->l->l->key == 'E');assert(pq->bq[3]->l->l->r->key == 'I');assert(pq->bq[3]->l->r->l->key == 'L');assert(pq->bq[3]->l->r->r->key == 'E');
}

任务3：实现PQdelmax操作

Item PQdelmax(PQ pq){int i;int max;Item v;PQlink x;PQlink temp[maxBQsize];for (i = 0, max = -1; i < maxBQsize; i++) {if (pq->bq[i] != z) {if (max == -1 || less(v, pq->bq[i]->key)) {max = i;v = pq->bq[i]->key;}}}for (i = max; i < maxBQsize; i++) {temp[i] = z;}x = pq->bq[max]->l;for (i = max; i > 0; i--) {temp[i-1] = x;x = x->r;temp[i-1]->r = z;}free(pq->bq[max]);pq->bq[max] = z;BQjoin(pq->bq, temp);return v;}

测试PQdelmax

delmax示例

void test_delmax() {PQ pq = PQinit();PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'R');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'N');PQinsert(pq, 'G');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'X');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'M');PQinsert(pq, 'P');PQinsert(pq, 'L');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'W');assert(pq->bq[0] == z);assert(pq->bq[1] == z);assert(pq->bq[2] == z);assert(pq->bq[3] == z);assert(pq->bq[4]->key == 'X');PQdelmax(pq);assert(pq->bq[0]->key == 'E');assert(pq->bq[1]->key == 'M');assert(pq->bq[2]->key == 'W');assert(pq->bq[3]->key == 'T');}

任务4：实现PQchange操作

void fixUp(PQlink x){PQlink curr = x;while (curr != z && curr->p != z && less(curr->p->key, curr->key)) {exch(curr->key, curr->p->key);curr = curr->p;}
}void fixDown(PQlink x){PQlink curr = x;while (curr != z) {PQlink max_child = z;PQlink child_iter = curr->l;while(child_iter != z){if (max_child == z || less(max_child->key, child_iter->key)) {max_child = child_iter;}child_iter = child_iter->r;}if (max_child == z || max_child->key <= curr->key) {break;}exch(max_child->key, curr->key);curr = max_child;}
}void PQchange(PQ pq, PQlink x, Item v){if (x == z) {return;}Item old = x->key;x->key = v;if (less(old, v)) {fixUp(x);}else {fixDown(x);}
}

测试PQchange

void test_change(){PQ pq = PQinit();// E-A-S-Y-Q-U-E-S-T-I-O-NPQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQlink x = PQinsert(pq, 'Y');PQinsert(pq, 'Q');PQinsert(pq, 'U');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'N');PQchange(pq, x, 'B');assert(pq->bq[3]->key == 'U');assert(pq->bq[3]->l->key == 'S');assert(pq->bq[3]->l->l->key == 'E');assert(pq->bq[3]->l->l->l->key == 'B');
}

任务5：实现PQdelete操作

#define MAXCHAR 127
void PQdelete(PQ pq, PQlink x){PQchange(pq, x, MAXCHAR);PQdelmax(pq);
}

测试PQdelete

void test_delete() {PQ pq = PQinit();// E-A-S-Y-Q-U-E-S-T-I-O-NPQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'Y');PQinsert(pq, 'Q');PQinsert(pq, 'U');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'T');PQlink del = PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'N');PQdelete(pq, del);assert(pq->bq[0]->key == 'O');assert(pq->bq[1]->key == 'T');assert(pq->bq[1]->l->key == 'N');assert(pq->bq[2] == z);
}

参考资料

  • BinomialQueue.c
    /*** FileName:BinomialQueue.c* ---------------------------**/#include <stdlib.h>
#include "PQfull.h"#define test(C, B, A) 4*(C) + 2*(B) + 1*(A)
#define maxBQsize 5
#define MAXCHAR 127/******************************辅助函数部分开始************************************/
/*** 合并两个相同大小的二次幂堆* ----------------------------* 思路：TODO*/
PQlink pair(PQlink p, PQlink q){if (less(p->key, q->key)) {p->r = q->l;if (p->r != z) {p->r->p = p;}q->l = p;p->p = q;return q;}else {q->r = p->l;if (q->r != z) {q->r->p = q;}p->l = q;q->p = p;return p;}
}/*** 从右向左，依次处理每一个二次幂堆* -----------------------------* 思路：参考单比特的二进制加法操作*/
void BQjoin(PQlink *a, PQlink *b){int i;PQlink c = z;for (i = 0; i < maxBQsize; i++) {switch(test(c != z, b[i] != z, a[i] != z)){case 2:a[i] = b[i];break;case 3:c = pair(a[i], b[i]);a[i] = z;break;case 4:a[i] = c;c = z;break;case 5:c = pair(c, a[i]);a[i] = z;break;case 6:case 7:c = pair(c, b[i]);break;}}
}void fixUp(PQlink x){PQlink curr = x;while (curr != z && curr->p != z && less(curr->p->key, curr->key)) {exch(curr->key, curr->p->key);curr = curr->p;}
}void fixDown(PQlink x){PQlink curr = x;while (curr != z) {PQlink max_child = z;PQlink child_iter = curr->l;while(child_iter != z){if (max_child == z || less(max_child->key, child_iter->key)) {max_child = child_iter;}child_iter = child_iter->r;}if (max_child == z || max_child->key <= curr->key) {break;}exch(max_child->key, curr->key);curr = max_child;}
}
/******************************辅助函数部分结束************************************//******************************接口实现部分开始************************************/PQ PQinit(){PQ pq = malloc(sizeof(*pq));pq->bq = (PQlink *)malloc(maxBQsize*sizeof(PQlink));int i;for (i = 0; i < maxBQsize; i++) {pq->bq[i] = z;}return pq;
}int PQempty(PQ pq){//TODO
}PQlink PQinsert(PQ pq, Item v){PQlink t = malloc(sizeof(*t));t->key = v;t->l = z;t->r = z;t->p = z;PQ tempPQ = PQinit();tempPQ->bq[0] = t;PQjoin(pq, tempPQ);return t;
}Item PQdelmax(PQ pq){int i;int max;Item v;PQlink x;PQlink temp[maxBQsize];for (i = 0, max = -1; i < maxBQsize; i++) {if (pq->bq[i] != z) {if (max == -1 || less(v, pq->bq[i]->key)) {max = i;v = pq->bq[i]->key;}}}for (i = max; i < maxBQsize; i++) {temp[i] = z;}x = pq->bq[max]->l;for (i = max; i > 0; i--) {temp[i-1] = x;x = x->r;temp[i-1]->r = z;}free(pq->bq[max]);pq->bq[max] = z;BQjoin(pq->bq, temp);return v;}void PQchange(PQ pq, PQlink x, Item v){if (x == z) {return;}Item old = x->key;x->key = v;if (less(old, v)) {fixUp(x);}else {fixDown(x);}
}void PQdelete(PQ pq, PQlink x){PQchange(pq, x, MAXCHAR);PQdelmax(pq);
}void PQjoin(PQ a, PQ b){BQjoin(a->bq, b->bq);
}/******************************接口实现部分结束************************************/
  • TestBinomialQueue.c
    /*** FileName:TestBinomialQueue.c* ---------------------------------*/#include <assert.h>
#include "PQfull.h"void test_join();
void test_insert();
void test_delmax();
void test_change();
void test_delete();int main(){// test_join();// test_insert();// test_delmax();// test_change();test_delete();return 0;
}void test_join(){// 队列1：I->T->NPQ pq1 = PQinit();PQinsert(pq1, 'I');PQinsert(pq1, 'T');PQinsert(pq1, 'N');assert(pq1->bq[0]->key == 'N');assert(pq1->bq[1]->key == 'T');assert(pq1->bq[1]->l->key == 'I');// 队列2： P->L->E->W->M->A->EPQ pq2 = PQinit();PQinsert(pq2, 'P');PQinsert(pq2, 'L');PQinsert(pq2, 'E');PQinsert(pq2, 'W');PQinsert(pq2, 'M');PQinsert(pq2, 'A');PQinsert(pq2, 'E');assert(pq2->bq[0]->key == 'E');assert(pq2->bq[1]->key == 'M');assert(pq2->bq[1]->l->key == 'A');assert(pq2->bq[1]->r == z);assert(pq2->bq[2]->key == 'W');assert(pq2->bq[2]->r == z);assert(pq2->bq[2]->l->key == 'P');assert(pq2->bq[2]->l->r->key == 'E');assert(pq2->bq[2]->l->l->key == 'L');PQjoin(pq2, pq1);assert(pq2->bq[0] == z);assert(pq2->bq[1]->key == 'M');assert(pq2->bq[1]->l->key == 'A');assert(pq2->bq[2] == z);assert(pq2->bq[3]->key == 'W');assert(pq2->bq[3]->r == z);assert(pq2->bq[3]->l->key == 'T');assert(pq2->bq[3]->l->l->key == 'N');assert(pq2->bq[3]->l->r->key == 'P');assert(pq2->bq[3]->l->l->l->key == 'E');assert(pq2->bq[3]->l->l->r->key == 'I');assert(pq2->bq[3]->l->r->l->key == 'L');assert(pq2->bq[3]->l->r->r->key == 'E');}void test_insert(){PQ pq = PQinit();// P-L-E-W-T-I-EPQinsert(pq, 'P');PQinsert(pq, 'L');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'W');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'E');// NPQinsert(pq, 'N');assert(pq->bq[0] == z);assert(pq->bq[1] == z);assert(pq->bq[2] == z);assert(pq->bq[3]->key == 'W');assert(pq->bq[3]->r == z);assert(pq->bq[3]->l->key == 'T');assert(pq->bq[3]->l->l->key == 'N');assert(pq->bq[3]->l->r->key == 'P');assert(pq->bq[3]->l->l->l->key == 'E');assert(pq->bq[3]->l->l->r->key == 'I');assert(pq->bq[3]->l->r->l->key == 'L');assert(pq->bq[3]->l->r->r->key == 'E');
}void test_delmax() {PQ pq = PQinit();PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'R');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'N');PQinsert(pq, 'G');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'X');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'M');PQinsert(pq, 'P');PQinsert(pq, 'L');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'W');assert(pq->bq[0] == z);assert(pq->bq[1] == z);assert(pq->bq[2] == z);assert(pq->bq[3] == z);assert(pq->bq[4]->key == 'X');PQdelmax(pq);assert(pq->bq[0]->key == 'E');assert(pq->bq[1]->key == 'M');assert(pq->bq[2]->key == 'W');assert(pq->bq[3]->key == 'T');}void test_change(){PQ pq = PQinit();// E-A-S-Y-Q-U-E-S-T-I-O-NPQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQlink x = PQinsert(pq, 'Y');PQinsert(pq, 'Q');PQinsert(pq, 'U');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'T');PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'N');PQchange(pq, x, 'B');assert(pq->bq[3]->key == 'U');assert(pq->bq[3]->l->key == 'S');assert(pq->bq[3]->l->l->key == 'E');assert(pq->bq[3]->l->l->l->key == 'B');
}void test_delete() {PQ pq = PQinit();// E-A-S-Y-Q-U-E-S-T-I-O-NPQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'A');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'Y');PQinsert(pq, 'Q');PQinsert(pq, 'U');PQinsert(pq, 'E');PQinsert(pq, 'S');PQinsert(pq, 'T');PQlink del = PQinsert(pq, 'I');PQinsert(pq, 'O');PQinsert(pq, 'N');PQdelete(pq, del);assert(pq->bq[0]->key == 'O');assert(pq->bq[1]->key == 'T');assert(pq->bq[1]->l->key == 'N');assert(pq->bq[2] == z);
}

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