高等数学-曲线积分与曲面积分

一、曲线积分

(1)弧微分(ds)：表示曲线上的微小弧长。它的值是非负的(在尖点和静止点可能为0)，在实际应用中，通常被认为是正的。

a.若函数表达式为:y=f(x),则：ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√(1+y'^2) dx

b.若函数表达式为：x=x(t),y=y(t)，则：ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] dt=√[x'(t)]^2+[y'(t)]^2 dt

c.若函数表达式为：x=x(y)，则：ds=√1+[x'(y)]^2 dy

注：

（1）微分的本质：表示曲线上某点处无限小弧长的线性主部。ds与实际微小弧长之间的误差是高阶无穷小。在极限意义下，ds就是无穷小弧长的精确值。

         积分的本质：积分本身是对无穷小量的累加。ds的精确性保证了积分结果的正确性。

（2）取极限时，微分变得准确，同时和式(微分累加得到)可以计算出极限(比如使用定积分计算曲边梯形的面积：令λ=max*1^n Δxi=1/n->0，即n->∞，则可求出极限值)。

有限分时：和式等于近似值

无穷分时：和式的极限值等于精确值

一句话总结：取极限时，微元变得准确，意义相同，理论正确，极限值即准确值。

理解：微分保证无穷小意义下(极限意义)局部的准确值（先近似->取极限->极限状态下得准确值），积分是对无穷小量的累加，在这两种意义下，保证积分结果收敛到准确值。

二、对弧长的曲线积分：

(1)性质：

(2)对弧长积分的计算：

例1：

例2：

注：变换积分弧段L3的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不会改变。

例3：

三、对坐标的曲线积分

(1)性质：

(2)对坐标的曲线积分的计算：

例1：

例2：

注：x从3变到0，对应t从1变到0，所以积分下限为1，积分上限为0，注意不要搞错！！

四、格林公式

设平面有界闭区域D由分段光滑闭曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续偏导数，则有

∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

D

其中L是D的取正向的边界。

例1：

例2：

例3: