【软考向】Chapter 3 数据结构

线性结构

线性表的存储结构分为顺序存储和链式存储。

线性表

顺序存储 —— 访问易，增删难

以 $LOC(a_1)$ 表示线性表中第一个元素的存储位置，在 顺序存储结构 中，第 $i$ 个元素 $a_i$ 的存储位置为
$$LOC(a_i)=LOC(a_1)+(i-1)\times L$$

其中，$L$ 是表中每个数据元素所占空间的字节数。根据该计算关系，可随机存取表中的任一个元素。

线性表采用顺序存储结构的 优点是可以随机存取表中的元素，缺点是插入和删除操作需要移动元素。在插入前要移动元素以挪出空的存储单元，然后再插入元素；删除时同样需要移动元素，以填充被删除的元素空出来的存储单元。

在表长为 $n$ 的线性表中插入新元素时，共有 $n+1$ 个插入位置，在位置 1 (元素所在位置)插入新元素，表中原有的 $n$ 个元素都需要移动。

链式存储 —— 访问难、增删易

线性表的链式存储是用通过指针链接起来的结点来存储数据元素。数据域用于存储数据元素的值，指针域则存储当前元素的直接前驱或直接后继的位置信息，指针域中的信息称为指针(或链)。

在链式存储结构中，只需要 一个指针(称为头指针，如图3-2中的 head)指向第一个结点，就可以 顺序地访问到表中的任意一个元素。

在链式存储结构下进行 插入和删除，其实质都是 对相关指针的修改。

当线性表采用链表作为存储结构时，不能对数据元素进行随机访问，但是具有 插入和删除操作不需要移动元素 的优点。

栈 —— 后进先出 和 队列 —— 先进先出

字符串 —— KMP 匹配算法

主串为 abacbcabababbcbc，模式串为 abababb，且模式串的 next 函数值如下表所示，则 KMP 算法的匹配过程如图所示。其中，i 是主串字符的下标，j 是模式串字符的下标。

• 第一趟匹配从 S[0] 与 P[0] 开始。由于 S[0] = P[0]、S[1] = P[1]、S[2] = P[2]，所以接下来比较 S[3] 与 P[3]，由于 S[3] 与 P[3] 不相等，所以第一趟结束。
• 要进行第二趟匹配，令 j = next[3] （即 j = 1）。第二趟从 S[3] 与 P[1] 开始比较，仍不相等，因此第二趟结束。
• 要进行第三趟匹配，所以令 j = next[1] （即 j = 0）。第三趟从 S[3] 与 P[0] 开始比较，由于 S[3] 与 P[0] 不相等，所以令 j = next[0] （即 -1），此时满足条件 j == -1，显然不能令 S[3] 与 P[-1] 进行比较，说明主串中从 i=3 开始的子串不可能与模式串相同，因此需要将 i 的值递增后再继续进行匹配过程，即令 i++、j++。
• 下一趟从 S[4] 与 P[0] 开始比较，继续匹配过程。直到某一趟匹配成功，或者由于在主串中找不到模式串而以失败结束。

数组、矩阵和广义表

数组与广义表可看作是线性表的推广，其特点是数据元素仍然是一个表。

数组

$A$ 可看成一个行向量形式的线性表：

或列向量形式的线性表：

二维数组的存储结构可分为 以行为主序 和 以列为主序 的两种方法，

设每个数据元素占用 $L$ 个单元，$m$、$n$ 为数组的行数和列数，$Loc(a_{11})$ 表示元素 $a_{11}$ 的地址，那么以行为主序优先存储的地址计算公式为：

$$Loc(a_{ij})=Loc(a_{11})+((i–1)\times n+(j-1))\times L$$

同理，以列为主序优先存储的地址计算公式为：
$$Loc(a_{ij})=Loc(a_{11})+((j-1)\times m+(i-1))\times L$$
推广至多维数组，在按下标顺序存储时，先排最右的下标，从右向左直到最左下标，而逆下标顺序则正好相反。

树 —— 树根为第一层，最大层数为树高/深度

• 结点的层次。根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推，若某结点在第 i 层，则其孩子结点在第 i+1 层。例如，图中，A 在第 1 层，B、C、D 在第 2 层，E、F 和 G 在第 3 层。
• 树的高度。一棵树的最大层数记为树的高度(或深度)。例如，图中所示树的高度为 3。

线索二叉树

哈夫曼编码

如果要设计长度不等的编码，必须满足下面的条件：任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码也称为前缀码。

设有字符集 {a,b,c,d,e} 及对应的权值集合 {0.30,0.25,0.15,0.22,0.08}，按照构造最优二叉树的哈夫曼方法：先 按权值从低到高，先取字符 c 和所 e 对应的结点构造一棵二叉树（根结点的权值为 c 和 e 的权值之和），然后与 d 对应的结点分别作为左、右子树构造二叉树，之后选 a 和 b 所对应的结点作为左、右子树构造二叉树，最后得到的最优二叉树(哈夫曼树)如图所示。

其中，字符 a 的编码为 00，字符 b、c、d、e 的编码分别为 01、100、11、101。

译码时就从树根开始，若编码序列中当前编码为 0，则进入当前结点的左子树；为 1 则进入右子树，到达叶子时一个字符就翻译出来了，然后再从树根开始重复上述过程，直到编码序列结束。

例如，若编码序列 101110000100 对应的字符编码采用图所示的树进行构造，则可翻译出字符序列 edaac。

树和森林 —— 树的双亲表示和孩子表示

图

存储 —— 邻接矩阵、邻接表

遍历 —— DFS、BFS

最小生成树 —— Prim 算法和 Kruskal 算法

普里姆算法 构造最小生成树的过程是 以一个顶点集合 $U=u_0$ 作为初态，不断寻找与 $U$ 中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充 $U$ 集合直到 $U=V$ 时为止。

克鲁斯卡尔求最小生成树的算法思想为：假设连通网 $N=(V,E)$，令最小生成树的初始状态为只有 $n$ 个顶点而无边的非连通图 T = ( V , { } ) T=(V,\{\}) T=(V,{})，图中每个顶点自成一个连通分量。在 $E$ 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在 $T$ 中不同的连通分量上，则将此边加入到 $T$ 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依此类推，直到 $T$ 中所有顶点都在同一连通分量上为止。

拓扑排序和关键路径

拓扑序列为 6,1,4,3,2,5。

最短路径

单源点最短路径 —— Dijkstra 算法

每对顶点间的最短路径 —— Floyd 算法

查找

静态查找 —— 顺序查找、二分查找、分块查找

动态查找 —— 二叉排序树、平衡二叉树、B 树

哈希表

排序

在排序过程中需要进行下列两种基本操作：比较两个关键字的大小；将记录从一个位置移动到另一个位置。前一种操作对大多数排序方法来说都是必要的，后一种操作可以通过改变记录的存储方式来避免。

各排序算法详见：十大排序算法
优学堂 算法

排序算法	平均时间复杂度	最好情况	最坏情况	空间复杂度	排序方式	稳定性
快速排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(n^2)$	$O(lo{g}_{2}n)$	内部排序	不稳定
归并排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(n)$	外部排序	稳定
堆排序	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(nlo{g}_{2}n)$	$O(1)$	内部排序	不稳定
希尔排序	$O(n^{1.3})$	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(1)$	内部排序	不稳定
插入排序	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(1)$	内部排序	稳定
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(1)$	内部排序	稳定
选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	内部排序	不稳定

数组 基本有序 的情况下进行排序：

• 最适宜采用插入排序，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。
• 对快速排序来说是 计算时间的最坏情况，时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。
  • 快速排序在 “基本有序” 输入上退化到最坏情况的核心在于 枢轴（pivot）选择不当导致分区极度不平衡，使得递归树从理想的二叉树退化为一条链；
  • 在简单实现中，若总是选择数组的第一个或最后一个元素作为枢轴，对于已经或几乎有序的数组，这些位置恰好是当前子数组的最小或最大值，导致 一次分区只剥离 1 个元素，剩余 $n-1$ 个元素集中在另一侧，完全失去 “分治” 优势。

在理想情况下，如果每次划分都恰好选择当前子数组的 真中位数 作为枢轴，那么快速排序就能保证 完全平衡 的递归分治：每次将规模为 $n$ 的问题分解为两个规模为 $n/2$ 的子问题，再加上一次 $O(n)$ 的划分工作。递归关系和时间复杂度：

$$T(n)=2T\left(\frac{n}{2}\right)+O(n)⟹T(n)=O(n\log n).$$

快速排序的空间复杂度：快速排序在变量（如基准值、索引和用于交换的临时变量）上使用恒定的额外空间 $O(1)$，每次递归调用都会消耗栈空间，每层调用保存 $O(1)$ 变量。

• 在平衡划分的情况下，递归深度为 $O(logn)$，即 平均空间复杂度为 $O(logn)$；
• 在不平衡划分的情况下，递归深度可以达到 $n$，即 最坏空间复杂度为 $O(n)$。

对 A 进行简单选择排序时，第一趟需交换 21 和 17，导致 21 与 21* 的相对位置发生变化。

• 该数组 基本有序，所以采用 直接插入 排序，需要进行的比较次数最少；
• 初始有序数组为 {1}，后1与前1比较，不交换，1, 1；2 与 1 比较，不交换，1, 1, 2；4 与 2 比较，不交换，1, 1, 2, 4；7 与 4 比较，不交换，1, 1, 2, 4, 7；5 与 7 比较，交换 5 和 7，继续往前比较，1, 1, 2, 4, 5, 7；5 与 4 比较，不交换，结束。
• 注意最后的 5 不仅与 7 比较，还要与 4 比较。

• 对于 A, B 选项，以 A 为例，$a_1,a_2...,a_n$ 均比 $b_1$ 小，那么它们各自与 $b_1$ 比较一次即可，剩下有序数组 B 不需要比较直拼接到 $a_n$ 后即可。共需 $n$ 次比较。
• 同理 D 选项的 $b_{i/2+1}$ 到 $b_n$ 都不需要比较直接拼接。
• 对于 C 选项，$a_1$ 和 $b_1$ 比较 $a_1$ 小，然后 $a_2$ 和 $b_1$ 比较 $b_1$ 小，继续 $a_2$ 和 $b_2$ 比较 $a_2$ 小，继续。。。

排序算法	平均时间复杂度	最好情况	最坏情况	空间复杂度	排序方式	稳定性
计数排序	$O(n+k)$	$O(n+k)$	$O(n+k)$	$O(n+k)$	外部排序	稳定
桶排序	$O(n+k)$	$O(n)$	$O(n^2)$	$O(n+k)$	外部排序	稳定
基数排序	$O(n\ast k)$	$O(n\ast k)$	$O(n\ast k)$	$O(n+k)$	外部排序	稳定

若一组 大规模 待排序记录的 关键字取值均在 0-9 之间，则适宜采用：计数 排序。