山东大学计算机图形学期末复习完结篇上——24历年题

24历年题

由于csdn的md编辑器渲染问题，一些公式未能正常显示。

一、简答题

1. 图形绘制流水线的组成和作用

组成（基于图形管道架构）：

1. 顶点处理（Vertex Processing）
   • 坐标变换（对象坐标 → 相机坐标 → 屏幕坐标）
   • 顶点着色（计算颜色、光照）
2. 投影变换（Projection）
   • 将3D转换为2D（透视或平行）
3. 图元组装（Primitive Assembly）
   • 顶点组合为几何图元（三角形、多边形）
4. 裁剪（Clipping）
   • 移除视见体外的图元
5. 光栅化（Rasterization）
   • 图元 → 像素片段
6. 片段处理（Fragment Processing）
   • 纹理映射、光照计算、隐藏面消除

作用：提高图形渲染效率，实现从几何数据到图像的完整处理。

---

2. 双缓冲机制

定义：使用前台缓冲区和后台缓冲区避免图像撕裂。

原理：

• 绘图时写入后台缓冲区；
• 显示时从前台缓冲读取；
• 帧绘制完成后交换两个缓冲区。

作用：避免闪烁，提高动画的平滑度。

---

3. Delaunay三角化的四条性质

1. 最大最小角性质：最大化三角形最小角度，避免瘦长三角形。
2. 外接圆性质：任一三角形外接圆中不含其他顶点。
3. 唯一性：若无四点共圆，则Delaunay三角化唯一。
4. Voronoi对偶性：Delaunay三角形的外接圆心构成Voronoi图。

---

二、在三维空间中，如果要求沿方向v(a,b,c)产 生放大S倍的图形，试推导出变换矩阵。其 中v(a,b,c)为单位向量，a，b，c分别为向 量v与坐标轴之间夹角余弦值。（课上习题）

在三维空间中，沿任意方向向量 $\mathbf{v}=(a,b,c)$ 缩放 $S$ 倍，需要构造一个变换矩阵 $\mathbf{M}$，它具有如下性质：

• 在方向 $\mathbf{v}$ 上放大 $S$ 倍；
• 在垂直于 $\mathbf{v}$ 的方向上保持不变（缩放比例为 1）；
• $\mathbf{v}$ 是单位向量，即 $a^2+b^2+c^2=1$。

思路：向量分解 + 投影矩阵构造

对于任意一个点 $\mathbf{p}$，我们可以将其分解为两部分：

1. 沿 $\mathbf{v}$ 的分量：${\mathbf{p}}_{\parallel }=(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}$
2. 垂直于 $\mathbf{v}$ 的分量：$\mathbf{p}\ast \perp =\mathbf{p}-\mathbf{p}\ast \parallel$

那么，沿 $\mathbf{v}$ 方向放大 $S$ 倍的结果为：
$${\mathbf{p}}^{\prime }=S\cdot {\mathbf{p}}_{\parallel }+{\mathbf{p}}_{\perp }=S(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}+\left(\mathbf{p}-(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}\right)=\mathbf{p}+(S-1)(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}$$
所以可以推出变换公式：
$$\boxed{{\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{p}+(S-1)(\mathbf{v}\cdot \mathbf{p})\mathbf{v}}$$

推导变换矩阵 $\mathbf{M}$

设单位向量 $\mathbf{v}=(a,b,c)$，我们来构造 3×3 线性变换矩阵，使得：
$${\mathbf{p}}^{\prime }=\mathbf{M}\cdot \mathbf{p}$$
从上面的表达式可以得到（怎么得到？？）：

对于向量 $\mathbf{p}$ 和单位向量 $\mathbf{v}$ ，它们的点积可以表示为矩阵乘法：

$$\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{v}}^T\mathbf{p}$$

这是因为：

• ${\mathbf{v}}^T$ 是 $\mathbf{v}$ 的转置（行向量）。
• 矩阵乘法 ${\mathbf{v}}^T\mathbf{p}$ 展开后即为 $v_1{p}_1+v_2{p}_2+v_3{p}_3$ ，与点积定义一致。

示例：
设 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right],\mathbf{p}=\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ ，则：

$${\mathbf{v}}^T\mathbf{p}=\left[\begin{array}{lll}a& b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right]=ax+by+cz=\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}$$
将点积结果 $(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})$ 与向量 $\mathbf{v}$ 相乘时，可以改写为矩阵乘法：

$$(\mathbf{p}\cdot \mathbf{v})\mathbf{v}=\mathbf{v}\left({\mathbf{v}}^T\mathbf{p}\right)=\left(\mathbf{v}{\mathbf{v}}^T\right)\mathbf{p}$$

这里的关键是结合律和矩阵乘法的性质：
1．标量乘法交换：
$\left({\mathbf{v}}^T\mathbf{p}\right)$ 是一个标量，因此 $\mathbf{v}\left({\mathbf{v}}^T\mathbf{p}\right)=\left({\mathbf{v}}^T\mathbf{p}\right)\mathbf{v}$ 。
2．矩阵乘法结合律：
将 $\mathbf{v}\left({\mathbf{v}}^T\mathbf{p}\right)$ 看作矩阵乘法时，可以重新分组为 $\left(\mathbf{v}{\mathbf{v}}^T\right)\mathbf{p}$ ，因为矩阵乘法满足结合律。

$$\mathbf{M}=\mathbf{I}+(S-1)\cdot \mathbf{v}{\mathbf{v}}^{\top }$$

即：
$$
\mathbf{M} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

• (S - 1)
  \begin{bmatrix}
  a^2 & ab & ac \
  ab & b^2 & bc \
  ac & bc & c^2
  \end{bmatrix}
  $$最终结果为：$$
  \boxed{
  \mathbf{M} =
  \begin{bmatrix}
  1 + (S-1)a^2 & (S-1)ab & (S-1)ac \
  (S-1)ab & 1 + (S-1)b^2 & (S-1)bc \
  (S-1)ac & (S-1)bc & 1 + (S-1)c^2
  \end{bmatrix}
  }
  $$

三、Bresenham 算法及其改进

算法作用：高效绘制线段，避免浮点运算。

基本思想：

• 选择像素点使直线与理想线段最接近；
• 通过误差项决定下一步向 x 还是向 x+y。

改进措施：

1. 处理不同斜率（包括负斜率与大于 1 的情况）；
2. 推广到圆（Bresenham 圆算法）；
3. 使用整数代替浮点提高效率；
4. 改为对称算法减小运算量。

---

四、

1. 视见体标准化的作用

• 简化裁剪过程；
• 所有视见体转为单位立方体（$[-1,1{]}^3$）；
• 统一处理不同投影模式。

---

2. 正交投影归一化变换矩阵推导

设视见体范围：

• $x\in [l,r]$
• $y\in [b,t]$
• $z\in [n,f]$

正交投影矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{-2}{f-n}& -\frac{f+n}{f-n}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
作用：将任意长方体视见体转换为标准立方体。

复杂场景下的消隐算法

常见算法包括：

1. Z-buffer（深度缓存法）：

• 每个像素记录当前最近的深度值；
• 新片段深度小于当前值则更新。

2. BSP 树（Binary Space Partitioning）：

• 将场景划分为多个部分；
• 用树结构排序可见性。

3. 后-前法（Painter’s Algorithm）：

• 按照深度从远到近绘制；
• 存在重叠错误问题。

加速三角形填充的两种方法

方法一：扫描线算法（Scanline）

• 遍历每一行像素；
• 计算当前扫描线与三角形边的交点；
• 填充交点之间的像素；
• 适合光栅化的加速处理。

方法二：Barycentric坐标法

• 对于每个像素 $(x,y)$，计算其在三角形中的重心坐标 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$；
• 如果 $\alpha ,\beta ,\gamma \in [0,1]$，则该点在三角形内；
• 可直接插值颜色、纹理坐标等属性；
• GPU中广泛使用。

Phong模型

1. 组成及 Blinn 改进模型

Phong 模型组成：

• 环境光：$I_{ambient}=k_a\cdot I_a$
• 漫反射：$I_{diffuse}=k_d\cdot I\cdot (N\cdot L)$
• 镜面反射：$I_{specular}=k_s\cdot I\cdot (R\cdot V{)}^n$

Blinn 模型改进：

• 使用半角向量 $H=\frac{L+V}{|L+V|}$ 替代反射向量 $R$；
• 公式：$I_{specular}=k_s\cdot (N\cdot H{)}^n$；
• 计算更稳定，效率更高。

---

2. Phong着色优点与绘图质量提升

• 每像素插值计算法向量后再光照计算；
• 相较 Gouraud 每顶点光照插值，能展现更平滑高光；
• 提高真实感和光照精细度。

---

判断顶点是否在图形内（如多边形）

常见算法：射线法（Ray-Casting）

• 从点向任意方向引一条射线；
• 统计其与图形边界的交点数；
• 若为奇数次 → 点在图形内；
• 若为偶数次 → 点在图形外。

判断顶点是否在图形内（如多边形）

常见算法：射线法（Ray-Casting）

• 从点向任意方向引一条射线；
• 统计其与图形边界的交点数；
• 若为奇数次 → 点在图形内；
• 若为偶数次 → 点在图形外。

Mipmap原理

1. 原理：

• 多分辨率纹理金字塔；
• 减少远处图像失真与锯齿；
• 提高渲染效率。

2. 存储量：

总存储量约为原图像的 $\frac{4}{3}$ 倍：
$$\text{总大小}=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{4^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$$

3. 分级实现：

• 原图缩小为 $1/2^i$ 尺寸，每级为前一级平均采样生成；
• 可使用 OpenGL 自动生成 glGenerateMipmap。

---

算法题

1. Cyrus-Beck 算法步骤（线段裁剪）

适用于凸多边形窗口裁剪：

1. 计算边法向量与线段方向的点积；
2. 求入/出交点参数 $t$；
3. 确定线段在窗口内的部分：$t_{in}\le t\le t_{out}$；
4. 线段与裁剪窗口交于两个 $t$ 值所确定的点。

---

2. Liang-Barsky 算法思想

比Cohen-Sutherland更高效（少算交点）

• 基于参数方程 $P(t)=P_0+t(P_1-P_0)$，$t\in [0,1]$；
• 对于每条边，求出 $t$ 的范围；
• 若所有方向上的 $t_{in}\le t_{out}$，则线段可见；
• 减少不必要的剪裁操作。

物体绕任意向量 $(a,b,c)$ 旋转的变换矩阵推导（Rodrigues公式）

：

• 原始点为 $\vec{p}\in {\mathbb{R}}^3$
• 旋转轴单位向量为 $\vec{v}=(a,b,c{)}^T$，其中 $|\vec{v}|=1$
• 旋转角度为 $\theta$

目标是找出将任意点 $\vec{p}$ 绕向量 $\vec{v}$ 旋转 $\theta$ 后的新坐标 ${\vec{p}}^{\prime }$。

---

Step 1：拆分分量

将点 $\vec{p}$ 拆成两部分：

1. 平行于轴 $\vec{v}$ 的分量：
   $${\vec{p}}_{\parallel }=(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}$$

2. 垂直于轴的分量（记为 ${\vec{p}}_{\perp }$）：
   $${\vec{p}}_{\perp }=\vec{p}-{\vec{p}}_{\parallel }$$

---

Step 2：绕轴旋转的几何表达

旋转后的结果为：
$${\vec{p}}^{\prime }={\vec{p}}_{\parallel }+{\vec{p}}_{\perp }\cos \theta +(\vec{v}\times \vec{p})\sin \theta$$
解释：

• ${\vec{p}}_{\parallel }$：保持不变；

• ${\vec{p}}_{\perp }$：在垂直平面内旋转 $\theta$；

• $\vec{v}\times \vec{p}$：与 $\vec{v}$ 和 ${\vec{p}}_{\perp }$ 构成右手坐标系，作为旋转方向。为什么要加这一项？这是把垂直分量的旋转给分解了（参考图片中二维旋转的分解方式）。由于V是单位向量，所以$\vec{v}\times \vec{p}$的模长等于P。

• 要想绕轴旋转角度 $\theta$，实际上是在垂直平面中进行二维旋转。二维旋转公式为：
  $${\vec{p}}_{\perp }^{\prime }={\vec{p}}_{\perp }\cos \theta +(\text{垂直于 }{\vec{p}}_{\perp })\cdot \sin \theta$$
  而在三维中，“垂直于 ${\vec{p}}_{\perp }$”的方向由 $\vec{v}\times \vec{p}$ 给出。

  因此，完整的旋转效果必须包括这两部分：

  • ${\vec{p}}_{\perp }\cos \theta$：旋转后的在原方向上的投影；
  • $(\vec{v}\times \vec{p})\sin \theta$：旋转后的“垂直于原向量”的分量。

Step 3：整理为矩阵形式

我们的目标是把下面这个向量公式：

$${\vec{p}}^{\prime }=\vec{p}\cos \theta +(1-\cos \theta )(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}+(\vec{v}\times \vec{p})\sin \theta$$

变成这种矩阵乘法形式：
$${\vec{p}}^{\prime }=R\cdot \vec{p}\text{其中 }R=I\cos \theta +(1-\cos \theta )\vec{v}{\vec{v}}^T+[\vec{v}{]}_{\times }\sin \theta$$

---

第一步：分析每一项的形式

我们设：

• $\vec{v}=(a,b,c{)}^T$：单位旋转轴
• $\vec{p}=(x,y,z{)}^T$：任意三维向量

原始公式中每一项的含义：

1. $\vec{p}\cos \theta$

这就是：
$$\cos \theta \cdot I\cdot \vec{p}\Rightarrow \text{矩阵形式为 }I\cos \theta$$

---

2. $(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}$

这是一个向量-向量乘积形式：
$$(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}=(\vec{v}{\vec{v}}^T)\vec{p}$$
因为 $\vec{v}{\vec{v}}^T$ 是一个 $3\times 3$ 矩阵，它作用在任意 $\vec{p}$ 上会得到 $(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}$。

例如：
$$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]\Rightarrow \vec{v}{\vec{v}}^T=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& ab& ac\\ ab& b^2& bc\\ ac& bc& c^2\end{array}\right]$$
所以：
$$(1-\cos \theta )(\vec{v}\cdot \vec{p})\vec{v}=(1-\cos \theta )(\vec{v}{\vec{v}}^T)\vec{p}$$

---

3. $(\vec{v}\times \vec{p})\sin \theta$

我们把叉乘写成矩阵乘法：
$$\vec{v}\times \vec{p}=[\vec{v}{]}_{\times }\cdot \vec{p}$$
其中，$[\vec{v}{]}_{\times }$ 是叉乘矩阵（反对称矩阵）：
$$[\vec{v}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -c& b\\ c& 0& -a\\ -b& a& 0\end{array}\right]$$
所以：
$$(\vec{v}\times \vec{p})\sin \theta =\sin \theta \cdot [\vec{v}{]}_{\times }\cdot \vec{p}$$

---

第四步：组合为矩阵运算

把三项加起来：
$$
\vec{p}’ = \cos\theta \cdot I \cdot \vec{p}

• (1 - \cos\theta) \cdot \vec{v} \vec{v}^T \cdot \vec{p}
• \sin\theta \cdot [\vec{v}]\times \cdot \vec{p}
  KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 5: 提取 $̲\vec{p}$，得到整体旋转…
  \vec{p}’ = \left( \cos\theta I + (1 - \cos\theta)\vec{v} \vec{v}^T + \sin\theta [\vec{v}]\times \right)\vec{p}
  $$

---

所以最后 Rodrigues 旋转矩阵就是：

$$R=\cos \theta I+(1-\cos \theta )\vec{v}{\vec{v}}^T+\sin \theta [\vec{v}{]}_{\times }$$

这就是从向量形式 → 矩阵形式的全过程推导。

Step 4：展开成显式矩阵

设 $\vec{v}=(a,b,c{)}^T$，则有：
$$R=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & ab(1-\cos \theta )-c\sin \theta & ac(1-\cos \theta )+b\sin \theta \\ ab(1-\cos \theta )+c\sin \theta & b^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & bc(1-\cos \theta )-a\sin \theta \\ ac(1-\cos \theta )-b\sin \theta & bc(1-\cos \theta )+a\sin \theta & c^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{array}\right]$$
这个 $3\times 3$ 矩阵就是绕任意单位向量 $(a,b,c)$ 旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵。

• 分别带入单位基向量同样也可以求出变换矩阵：三维空间绕任意轴旋转矩阵的推导 - 知乎 (zhihu.com)

复杂无透明图像场景的消隐算法

1. Z-Buffer法（推荐）

• 为每个像素存一个深度值；
• 每绘制一个片段时：
  • 比较当前深度与缓冲区深度；
  • 更近的片段覆盖远处的；
• 优点：简单、适用性广、硬件支持。
• 缺点：不能处理半透明物体，需高精度缓冲防止z-fighting。

---

加速三角形填充的两种方法

方法一：扫描线算法（Scanline）

• 遍历每一行像素；
• 计算当前扫描线与三角形边的交点；
• 填充交点之间的像素；
• 适合光栅化的加速处理。

方法二：Barycentric坐标法

• 对于每个像素 $(x,y)$，计算其在三角形中的重心坐标 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$；
• 如果 $\alpha ,\beta ,\gamma \in [0,1]$，则该点在三角形内；
• 可直接插值颜色、纹理坐标等属性；
• GPU中广泛使用。

---

判断顶点是否在图形内（如多边形）

常见算法：射线法（Ray-Casting）

• 从点向任意方向引一条射线；
• 统计其与图形边界的交点数；
• 若为奇数次 → 点在图形内；
• 若为偶数次 → 点在图形外。

---

几何显示表示方式

几何图形通常表示为：

• 顶点（Vertices）+ 边（Edges）+ 面（Faces）：
  • 点：$(x,y,z)$；
  • 线：两个顶点；
  • 面：三角形或多边形；

文件格式（如 .obj, .ply）中常见方式是使用三角网（Triangular Mesh）表示模型。

---

局部光照模型

局部光照模型（如Phong）只考虑相机-表面-光源三者之间的直接光照，不考虑环境间接光照（如全局光照或间接反射）。

包括：

1. 环境光（Ambient）
2. 漫反射光（Diffuse）
3. 镜面反射光（Specular）

---

三种 Shading 的特点与区别

模型	特点	光照计算位置	效果
Flat Shading	每面一个颜色	多边形面中心	快速但不平滑
Gouraud Shading	每顶点光照，插值颜色	顶点	平滑但高光可能错失
Phong Shading	每像素插值法线，再光照	像素级	精细高光，耗时大

反射变换转化为旋转

反射矩阵的推导 - 知乎 (zhihu.com)

原理：二维中，对单位向量 $\vec{n}$ 的反射变换矩阵为：
$$R=I-2\vec{n}{\vec{n}}^T$$
这个操作等价于围绕垂直于 $\vec{n}$ 的方向旋转 180°。

在三维中，反射可以视作绕某平面法向的旋转（180°），例如绕对称轴或面进行旋转，即：
$$\text{反射}=\text{旋转}+\text{坐标翻转}$$

设点 $A$ 到平面的投影是 $B$，那么：
$$\overrightarrow{OB}=(I-\vec{n}{\vec{n}}^T)\overrightarrow{OA}$$
这个等式表示：用 $(I-\vec{n}{\vec{n}}^T)$ 这个投影矩阵将点 $A$ 投影到平面上得到点 $B$。

所以：
$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left[(I-\vec{n}{\vec{n}}^T)\overrightarrow{OA}\right]-\overrightarrow{OA}$$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{OC}& =\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}\\ & =\overrightarrow{OA}+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ & =\overrightarrow{OA}+2\left[\left(I-\vec{n}{\vec{n}}^T\right)\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}\right]\\ & =\overrightarrow{OA}+2\left[\left(-\vec{n}{\vec{n}}^T\right)\overrightarrow{OA}\right]\\ & =\left(I-2\vec{n}{\vec{n}}^T\right)\overrightarrow{OA}\end{array}$$

代入原式就得到了：
$$\overrightarrow{OA}+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+2\left[(I-\vec{n}{\vec{n}}^T)\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}\right]$$
所以，反射矩阵 $M_p=\left(I-2\vec{n}{\vec{n}}^T\right)$