哈夫曼树（Huffman Tree）
1. 基本概念
哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优二叉树，是一种带权路径长度（WPL, Weighted Path Length）最短的二叉树。它主要用于数据压缩和编码优化，通过为不同权值的节点分配不同长度的编码，使得高频数据占用更短的编码，从而减少整体存储空间。
2. 关键术语
- 路径（Path）：从树的一个节点到另一个节点的分支序列。
- 路径长度（Path Length）：路径上的分支数量。
- 带权路径长度（WPL, Weighted Path Length）：所有叶子节点的权值乘以其到根节点的路径长度之和
- 其中，wi 是第 i 个叶子节点的权值，li 是其到根节点的路径长度。
- 最优二叉树：具有最小 WPL 的二叉树。
3. 构造哈夫曼树的步骤
假设有 n 个权值 {w1,w2,…,wn}，构造哈夫曼树的算法如下：
- 初始化：将每个权值 wi 看作一棵只有根节点的二叉树，构成一个森林 F={T1,T2,…,Tn}。
- 合并最小权值树：
- 在森林 F 中选取两棵根节点权值最小的树 Ti 和 Tj。
- 合并它们为一棵新树，新树的根节点权值为 wi+wj，左子树为 Ti，右子树为 Tj。
- 将新树加入森林 F，并删除 Ti 和 Tj。
- 重复合并：重复步骤 2，直到森林 F 中只剩下一棵树，即为哈夫曼树。
示例：
给定权值集合 {5,9,12,13,16,45}，构造哈夫曼树的过程如下：
- 初始森林：{5,9,12,13,16,45}
- 合并最小的 5 和 9 → 新树权值 14
森林：{12,13,14,16,45} - 合并最小的 12 和 13 → 新树权值 25
森林：{14,16,25,45} - 合并最小的 14 和 16 → 新树权值 30
森林：{25,30,45} - 合并最小的 25 和 30 → 新树权值 55
森林：{45,55} - 合并 45 和 55 → 最终哈夫曼树
根节点权值 100
最终哈夫曼树结构：
[100]/ \[45] [55]/ \[25] [30]/ \ / \[12][13] [14][16]/ \[5] [9]4. 哈夫曼编码
哈夫曼编码是一种前缀编码（Prefix Code），即没有任何一个编码是另一个编码的前缀，从而避免解码时的歧义。
编码规则：
- 左分支：赋值为
0 - 右分支：赋值为
1 - 从根节点到叶子节点的路径即为该字符的编码。
示例编码（基于上述哈夫曼树）：
给定权值集合 {5,9,12,13,16,45}
| 字符 | 权值 | 编码 |
|---|---|---|
| A | 5 | 0000 |
| B | 9 | 0001 |
| C | 12 | 001 |
| D | 13 | 010 |
| E | 16 | 011 |
| F | 45 | 1 |
计算 WPL(带权路径长度)：
WPL=5×4+9×4+12×3+13×3+16×3+45×1=224
5. 哈夫曼树的性质
- 唯一性：给定权值集合，哈夫曼树的形态可能不唯一（合并顺序不同），但 WPL 相同。
- 最优性：哈夫曼树的 WPL 是最小的。
- 叶子节点数 = 权值个数：哈夫曼树中没有度为 1 的节点（即没有单分支节点）。
6. 应用场景
- 数据压缩（如 ZIP、JPEG、MP3 等格式）。
- 文件存储优化（减少冗余数据）。
- 网络传输（降低带宽占用）。
- 机器学习（决策树、特征选择等）。
7. 总结
- 哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，用于优化数据编码。
- 构造方法：贪心算法，每次合并最小的两个权值。
- 编码方式：左
0右1，保证前缀无歧义。 - 应用广泛：数据压缩、存储优化等。