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永磁同步电机公式总结——反电动势、磁链、转矩公式；三项、两项电压方程；坐标表换方程

news 来源：原创 2025/5/18 8:05:06

一、电机的一些基础公式和概念

1.1 反电动势相关

1.1.1 反电动势电压与输入电压关系

反电动势不会高于输入电压

$U = E+U_{R}$

$U$ = 供给电机的电压
$E$ = 反电动势的电压
$U_{R}$ = 电机自身的内阻所消耗的电压

1.1.1 反电动势公式

$V_{BEMF} = -N\frac{d (B\cdot A\cdot \cos \theta )}{dt}$

$V_{BEMF}$ = 反电动势
$N$ = 线圈匝数
$B$ = 磁场的变化率 (T)
$\cos \theta$ = (θ 为磁场方向与线圈法向的夹角)
$B\cdot A\cdot \cos \theta$ = $\Phi$ (磁通量)
$A$ = 线圈截面积 ( $m^2$ )
$\Delta t$ = 产生磁场变化所经历的时间 (s)

1.1.2 电机定子绕组的功率关系

$IU-IE=I^2R$

$IU$ = 电源供给给电动机的功率（输入功率）
$IE$ = 电动机输出的机械功率
$I^2R$ = 热功损（铜损、铁损、机械损等）

1.1.3 电机定子绕组电流公式

$I=\frac{U-E}{R}$

$E$ = 反电动势
$U$ = 外加电压
$R$ = 表示电动机回路总电阻

1.2 安培力相关

安培力公式：

$E=BIv$

$B$ = 表示磁感应强度
$L$ = 表导体棒的长度
$v$ = 导体棒切割的速度

常理可知，电机反电动势不会大于供给的电压，加入我们给电机输入10V 电压，反电动势将不会超过 10V。

对于一个电机参数来说，B 和 L 是已知的，E 也不会超过输入电压，我们就可以根据这个公式推算出 v，进而得到电机空转的理论的最大值。

1.2 磁链相关

1.2.1 电机磁链常数定义 ( $\psi _{f}$ )

定义： $\psi _{f}$ 是永磁体在定子绕组中产生的固定磁链幅值，单位为韦伯 (Wb)。其大小由永磁体的材料特性(如剩磁 Br)、体积和充磁方向决定，理想情况下为常数，但实际受温度影响 (如钕铁硼永磁体温度每升高100℃，下降10%~15%)

电机旋转时， $\psi _{f}$ 切割定子绕组产生反电动势：

$E=\psi _{f}\omega _{e}$

$E$ = 反电动势
$\omega _{e}$ = 电角速度

1.2.2 电机绕组磁链定义( $\Psi$ )

绕组磁链是指定子绕组中由电流和永磁体共同作用产生的总磁通量，单位为韦伯 ( $Wb$ )，随电流、转子位置 ( $\theta$ ) 和时间变化，是电机控制的核心变量。

感磁链：由定子电流通过绕组自感 ( $L_{s}i_{s}$ ) 产生。
互感磁链：其他绕组电流通过互感耦合产生（如三相绕组间的相互作用）。
永磁体耦合磁链：永磁体磁场在定子绕组中的投影分量 ( $\psi _{f}\cos \theta$ )。

1.3 转矩方程

对于嵌入式永磁同步电机 (IPMSM) 力矩方程是：

$T_{e}=\frac{3}{2}p_{n}i_{q}[i_{d}(L_{d}-L_{q})+\psi _{f}]$

$\psi _{f}i_{q}$ = 永磁转矩，与q轴电流成正比
$(L_{d}-L_{q})i_{d}i_{q}$ = 磁阻转矩，由 d-q 轴电感差异和电流交互作用产生。

表贴式 (SPMSM) 则是：

$T_{e}=\frac{3}{2}p_{n}i_{q}\psi _{f}$

因为 $L_{d}\approx L_{q}$ 其磁阻转矩为 0，所以控制表贴式电机获得最大转矩控制 id=0 即可。

二、定子三项电压方程：

2.1 定子三项电压方程 (磁链表达)

$u_{k}=R_{k}\cdot i_{k}+\frac{d\psi_{k} }{dt}(k=a,b,c)$

$u_{k}$ = 相电压
$i_{k}$ = 相电流
$\Psi _{k}$ = 相磁链
$R_{s}$ = 相电阻

三项矩阵形式如下，其中 P 为微分算子：

$\begin{bmatrix} U_a \\ U_b \\ U_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix} + P \begin{bmatrix} \Psi _a \\ \Psi_b \\ \Psi_c \end{bmatrix}$

其中， $U_{a}$ 、 $U_{b}$ 、 $U_{c}$ 是三相定子电压， $R_{s}$ 是定子电阻，是是子电流， $i_{a}$ 、 $i_{b}$ 、 $i_{c}$ 是定子磁链， $\psi _{a}$ 、 $\psi _{b}$ 、 $\psi _{c}$ 。为电角度和实际电机角度不同，此方程组电机控制过程中应用情况较少。注意：定子磁链是一个多变量、强耦合的结果，所以用电桥测试电感时，慢速旋转电机，电感的值一直在变化。

2.2 磁链方程

电机的磁链电流产生和永磁体与绕组有关：

$\psi _{a}$ 、 $\psi _{b}$ 、 $\psi _{c}$ = 转子永磁体磁链常数
$L_{aa}$ 、 $L_{bb}$ 、 $L_{aa}$ = 各自绕组的自感
$M_{ab}$ 、 $M_{ac}$ 、 $M_{bc}$ = 相间互感，对称系统中 $M_{bc} = M_{ba}$
$i_{a}$ 、 $i_{b}$ 、 $i_{c}$ = 三项定子电流
$\psi _{f}$ = 永磁体磁链幅值 (常数)
$\theta _{e}$ = 转子 d 轴与 A 相绕组的电角度

对于 B、C 相的反电动势和角度的关系正好是相差 120°，所以上述公式需要减去和加上 $\frac{2\pi }{3}$ 。

2.3 磁链方程的微分形式

简化之前的磁链方程，此方程只描述静态系统所以忽略角度：

$\Psi _{s}=L_{s}i_{s}+\psi _{f}$

$L_{s}$ = 定子绕组的电感，包括自感和互感
$\psi _{f}$ = 永磁体磁链幅值 (常数)

如果看做成一个动态系统需要加入电角度：

$\Psi _{s}=L_{s}i_{s}+\psi _{f}\cos \theta$

我们将其取微分可得：

$\frac{d\Psi _{s}}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}-\psi_{f} \sin \theta\cdot \frac{d\theta }{dt}$

其中 $\frac{d\theta }{dt}=\omega _{r}$ (转子电角速度)，因为最终取微分可得：

$\frac{d\Psi _{s}}{dt}=L_{s}\frac{di_{s}}{dt}-\psi_{f} \omega_{e}\sin \theta$

$\psi _{f}$ = 永磁体磁链幅值 (常数)
$L_{s}$ = 定子绕组的电感，包括自感和互感
$\omega _{e}$ = 电角速度

2.3 定子三项电压方程 (电感微分与磁链峰值常数表达)

还是回到这个方程：

$u_{k}=R_{k}\cdot i_{k}+\frac{d\Psi _{k} }{dt}(k=a,b,c)$

其中磁链等于：

$\Psi _{k}=L_{s}i_{s}+\Psi _{f}$

也就是对 $\Psi _{k}$ 取微分可得：

所以最终我们得出：

$u_s = R_s i_s + L_s\frac{d i_s}{dt}+j\omega_r\Psi_f$

其中 $e_{0}=j\omega_r\Psi_f$ 矢量图如下：

三、两项电机方程

3.1 α 和 β 轴的静止电压方程

对 ABC 三相电压方程做 Clake 变换得到 uα、uβ 静止电压方程。

eα、eβ 是两轴反电动势的公式。

这两个方程一般用作无传感器角度观测，需牢记，表贴式电机 $L_{d}$ 、 $L_{q}$ 相等，内嵌式电机 $L_{d}$ 、 $L_{q}$ 不相等。

3.2 d 和 q 轴旋转坐标电压方程

再做 Park 变换得到两项电压 d、q 轴下的电压方程。

3.3 d 和 q 轴的磁链方程

对于 IPMSM 电机来说 dq 轴电感不相同，公式如下：

SPMSM 电机 dq 电感轴相等，简化为：

4.2 d 和 q 轴的电磁转矩方程

$T_{e}=\frac{3}{2}p_{n}i_{q}[i_{d}(L_{d}-L_{q})+\psi _{f}]$

$L_{d}$ = d 轴电感
$L_{q}$ = q 轴电感
$\psi_{f}$ = 磁链常数
$P_{n}$ = 极对数
$T_{e}$ = 电机转矩

其中， $L_{d}$ 、 $L_{q}$ 、 $\psi _{f}$ 为电机本体参数，需测定。 $P_{n}$ 为电机极对数。此方程已完成对耦合量解耦，最后一项和转速有关的磁链耦合量，可前馈消除，如果影响比较小，可以不用管。轴方程需牢记，电机实际控制需要用到，电流环，MTPA，弱磁等都需用到此方程。

四、坐标变换

4.1 Clark 变换和逆 Clark 变换

4.1.1 Clark 变换

左图是 A、B、C 三项电流；右图是 α、β 两项电流

以电流变换为例，A、B、C 向 α、β 轴变换，按照幅值不变原则：

$\left\{ \begin{array}{l} i_{a}=\frac{2}{3}i_{a}\cdot\frac{1}{3}\cdot(i_{b} + i_{c})\\ i_{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot(i_{b}-i_{c}) \end{array} \right.$

4.1.2 逆 Clark 变换

以电流变换为例，α、β 向 A、B、C 轴变换，按照幅值不变原则：

$\left\{ \begin{array}{l} i_a = i_\alpha \\ i_b=-\frac{1}{2}i_a+\frac{\sqrt{3}}{2}i_\beta \\ i_c = -\frac{1}{2}i_a-\frac{\sqrt{3}}{2}i_\beta \end{array} \right.$