背包问题详解

一、问题引入：什么是背包问题？

背包问题是经典的动态规划问题，描述如下：

• 有一个容量为 m 的背包

• 有 n 个物品，每个物品有体积 v 和价值 w

• 目标：选择物品装入背包，使总价值最大且总体积不超过 m

• 限制：每个物品只能选一次（0-1背包）

动态规划解法

使用DP数组 f[i] 表示容量为 i 时的最大价值

三、C语言代码逐行解析

#include <stdio.h>
#define N 1010  // 定义最大容量int f[N];  // DP数组，f[i]表示容量i时的最大价值int main() {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);  // 输入物品数量和背包容量while(n--) {  // 遍历每个物品int v, w;scanf("%d%d", &v, &w);  // 输入物品体积和价值for(int i = m; i >= v; i--) {  // 逆向更新DP数组int value = f[i - v] + w;  // 选当前物品的新价值if(value > f[i]) f[i] = value;  // 更新最大值}}printf("%d", f[m]);  // 输出最大价值return 0;
}

四、图解执行过程

输入示例：

3 5  // 3个物品，背包容量5
2 3  // 物品1：体积2，价值3
1 2  // 物品2：体积1，价值2 
3 4  // 物品3：体积3，价值4

DP数组变化：

处理阶段	f[0]	f[1]	f[2]	f[3]	f[4]	f[5]
初始状态	0	0	0	0	0	0
物品1	0	0	3	3	3	3
物品2	0	2	3	5	5	5
物品3	0	2	3	5	6	7

最优解：f[5] = 7（选择物品1和物品3）

五、为什么必须逆向更新？

• 正向更新会导致重复计算（变成完全背包问题）

• 逆向更新保证每个物品只被考虑一次

示例对比：

// 错误的正向更新（完全背包）
for(int i = v; i <= m; i++)  // 正确的逆向更新（0-1背包）  
for(int i = m; i >= v; i--)

六、复杂度分析

指标	暴力解法	动态规划
时间复杂度	O(2ⁿ)	O(n×m)
空间复杂度	O(n)	O(m)

七、实际应用场景

1. 资源分配问题

2. 投资组合优化

3. 裁剪问题

4. 密码学中的子集和问题

八、常见变种问题

1. 完全背包：物品可重复选（正向更新）

2. 多重背包：物品有数量限制

3. 分组背包：物品分组，每组只能选一个

4. 依赖背包：物品间有依赖关系

九、优化与扩展

1. 滚动数组优化：进一步减少空间复杂度

2. 记录选择方案：增加路径记录数组

3. 超大背包问题：当m很大时，改用价值作为DP维度