数学复习笔记 13

前言

继续做线性相关的练习题，然后做矩阵的例题，还有矩阵的练习题。

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A 明显是错的。因为假设系数全部是零，就不是线性相关了。要限制系数不全是零，才可以是线性相关。

B 这个说法好像没啥问题。系数全为零肯定线性组合的结果就是零了，这个不必赘述，然后不管我们怎么改变系数，线性组合的结果都是非零的，那就是线性无关的。

C 这个明显是错的。因为定义是说，存在一组，不全是零的系数，不是说任意。存在和任意是有本质的区别的。

D 这个有点把我当日本人了。对于任何向量组，系数全部是零，线性组合的结果都一定是零，他跟我说这个可以得到向量组是线性无关的。。。线性无关的定义是，除了系数全是零这种情况，系数任意改变，最后的线性组合的结果都不是零，这才是线性无关。

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《再见 你好》金玟岐

说明

现在开始写矩阵的例题。

2.35

矩阵是线代讲义里面例题最多的一个章节，有三十多个题。其他章节都只有十几个，二十多个题。所以矩阵的这个基础知识确实是比较多的。

题目说矩阵等价，就是矩阵同型，然后秩相等。

算一下秩就可以了。算秩就是行变换或者行列式。

可以算出来秩是 2，前面的矩阵可以算行列式，这个是 3 阶矩阵，秩是 2 表示不是满秩，不是满秩就是行列式等于零，应该就可以列一个方程然后解出来我们需要的参数了。

观察可以发现前面的矩阵式行和相等型的矩阵，可以把后面的全部加到第一列，然后用第一行去消除其他行吗？？行列式可以这么干，矩阵是否可以这么干？试了一下，好像可以。。。

这题还有一个坑点，就是算出来有两个答案。为啥会有两个答案呢，因为按照我们的思路算出来的行列式为零，这个的秩可以是 2，可以是 1 ，甚至可以是 0，也就是说，这个限制条件没有很严格，相当于只是算了一个不等式出来。所以我们需要验证，验证算出来的两个结果，哪个结果的秩是 2？

最后算出来是 2.

是，这个题没啥难度，但是确实是比较经典的，感觉价值一个五分题。线代是可以出四个五分题的，选择填空本质上没啥区别，基本都是要会做题才能得分。

腻味

那追着公车的少年 如今西装笔挺体面

2.34

判断两个同型的矩阵是否等价，算一下秩是否相等就可以了。等价矩阵是经过行变换之后能得到的矩阵。算出来秩是 2.

A 的秩是，奥，这里说一下，算秩，一般就是两种方法，行变换和行列式。算出来秩是 1，实际上秩表示的就是，有效的行数。假设某一行可以被另一行表示出来，有一行就是无效的，和公司里面的优化有点异曲同工之妙，就是把没有实际上起作用的部分砍掉。

B 第一行和第三行的和，然后取负号，可以发现和第二行一致，那么第二行就是无效的，可以砍掉。第一行和第三行是线性无关的，那么秩就是 2

C 这个比较方便计算行列式，算出来行列式等于 2，不等于零，行列式不为零，表示矩阵是可逆的，表示满秩，矩阵是 3 阶矩阵。所以秩是 3.

D 看一眼就知道秩是 1，所以答案就是 B 了。