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从微积分到集合论(1630-1910)(历史简介)——第1章——积分技巧(1630-1660)(Kirsti Møller Pedersen)

news 来源：原创 2025/5/17 10:27:24

第 1 章积分技巧(1630-1660)

(Techniques of the Calculus, 1630-1660)

Kirsti Møller Pedersen

1.1 引言(Introduction)

1.2 数学家及其社会(Mathematicians and their society)

1.3 几何曲线及其相关问题(Geometrical curves and associated problems)

1.4 代数和几何(Algebra and geometry)

1.5 Descartes确定法线的方法和Hudde法则 (Descartes's method of determining the normal, and Hudde's rule)

1.6 Roberval的切线方法(Roberval’s method of tangents)

1.7 Fermat的最大值和最小值方法(Fermat's method of maxima and minima)

1.8 Fermat的切线法(Fermat's method of tangents)

1.9 穷竭法(The method of exhaustion)

1.10 Cavalieri之不可分法(Cavalieri's method of indivisibles)

1.11 Wallis之算术积分法(Wallis's method of arithmetic integration)

1.12 其它积分法(Other methods of integration)

1.13 结语(Concluding remarks)

1.1 引言(Introduction)

在17世纪的前六十年，数学处于快速发展阶段。这一时期诞生并发展出了许多思想，这些思想后来被Isaac Newton和G.W.Leibniz所继承。许多方法被开发出来用于解决微积分问题；其中大多数方法的共同点在于它们的权宜之计(ad hoc)。我们能够找到一些在Newton和Leibniz之前的例子，这些例子如果翻译成现代数学语言，就会表明微分和积分是逆过程；然而，这些例子都与具体问题有关，而非与普遍理论相关。Newton和Leibniz的特别之处在于他们都建立了无穷小微积分的普遍理论。然而，并不能说Newton和Leibniz的微积分比他们的前辈具有更高的数学严谨性。

随着Newton和Leibniz之前方法的基础思想逐渐成熟，这些方法本身却逐渐被遗忘。因此，本章将重点关注早期的思想，并通过简单的例子来说明这些方法。这样一来，对当时数学家所取得成就的描述可能显得有些扭曲，但对更复杂例子的描述很容易被计算淹没。之所以能够找到简单的问题，是因为当时的数学家们习惯于通过将他们的方法应用于事先已知解的问题来验证它们。接下来，就是利用这些方法求新的结果。

仅用一章之力，无法全面论述这一主题。我将采用相对较少的方法来举例说明当时的微积分，并对这些方法进行较为详细的描述。这意味着许多重要数学家的方法将不得不略去。在丰富的相关文献中，或许可以找到更为全面的概述，从而更深入地了解1630年至1660年间微积分的发展。(注：例如，请参阅 Baron 1969a、Boyer 1939a 和 Whiteside 1961a 及其参考书目。) 我之所以选择用一章来阐述，是因为我认为，即使是在一章中做出一个勉强令人满意的概述，也意味着要罗列人物并概述各种技术，而这对于不熟悉这一时期的读者来说，可能无法准确展现当时的方法和风格。

选择方法的一个标准是，它们应该能够真实地展现当时数学家们是如何解决他们最深入研究的问题的；另一个标准是，它们应该能够让读者了解那些后来成为启发方法的思想。如果不同的方法基于相似的思想，我会尽量选择第一个提出该思想的作者。

关于1630-1660 年这一时期，正如所有其他时期一样，如果你真的想了解这一时期的数学，那么你必须了解它之前的数学。这一时期的数学深受古典希腊数学的影响，也深受前一时期的影响(注：Boyer 1968a 和 Kline 1972a 中有关于希腊数学的优秀参考书目)。古希腊数学之所以如此重要，是因为在 16 世纪，数学家们习得这门学科的知识已成为常态，它构成了大多数数学家数学知识体系的基本要素。古希腊数学尤其因其严谨性而备受推崇。但它的方法并非启发式的；它们不太适合为如何解决新问题提供思路，这一点将在后面结合求积和立方运算进行说明。

因此，寻找其他方法就成了自然而然的事情，即使它们不能满足古希腊对精确性的要求，至少也能为解决问题提供思路。这类方法的萌芽可以追溯到之前的时期，即16世纪末和17世纪初，这段时期是精密科学蓬勃发展的时期。Johannes Kepler的工作使天文学取得了巨大的进步；Simon Stevin的论文《称量艺术的要素》(De Beghinselen der Weeghconst：1586a)对静力学做出了巨大贡献。在力学方面，Galileo Galilei推导出自由落体定律和抛物线运动轨迹，标志着与Aristotle物理学的决裂，开启了一个数学在物理学中得到广泛应用的新纪元。

Kepler在其著作中运用了无穷小方法。他对估算酒桶体积的兴趣促成了《大型酒桶的新测量》(Nova stereometria doliorutn vinariorum，1615a)一书的问世。在该书中，他认为旋转立体是由无数个组成立体以各种方式构成的。例如，他认为球体由无数个圆锥体组成，这些圆锥体的顶点在中心，底面在球面上。由此得出：球体的体积等于一个以球体半径为高、底面等于球面的圆(即，一个以球体直径为半径的圆)的体积。(Kepler，1615a，《第一部分》，定理11；《Worksly》第4卷，563页，或《Works2》，第9卷，23页)。

Galileo计划写一本关于不可分割数的书，但这本书从未问世；然而，他的思想对他的学生Cavalieri产生了很大的影响，我们稍后将讨论Cavalieri的作品。

1.2 数学家及其社会(Mathematicians and their society)

17世纪的许多数学家并非以数学家为职业。这种趋势在法国尤为明显；在那里，只有Gilles Personne de Roberval担任数学教授，而Pierre de Fermat， Rene Descartes和Blaise Pascal这样的伟大数学家，其工作与他们的学科没有任何正式联系。与启发他的数学家Francois Viète一样，Fermat也是一名律师，并在职业生涯的大部分时间里在Toulouse从事律师工作。Descartes和Pascal都有自己的副业(private means)，除了数学之外，他们还从事物理和哲学研究。Descartes大部分时间都在法国境外度过，长期居住在荷兰和其他地方。

Descartes在荷兰的这段经历启发了几位荷兰数学家，其中包括Frans van Schooten。他是莱顿(Leyden)工程学院的成员，而他最重要的学生(他的论文与他的论文一同发表)大多从事数学以外的专业工作。然而，他最杰出的学生Christiaan Huygens毕生致力于数学和物理学。1666年，巴黎科学院成立，Huygens被授予院士资格，他接受了。作为院士，他获得了丰厚的津贴。在意大利，最杰出的数学家和物理学家，如Galileo Galilei ，Bonaventura Cavalieri和Evangelista Torricelli，都在各自的领域任职，一部分在大学任职，一部分担任宫廷数学家。

这一时期提供了几个很好的例子，它们独立地、几乎同时地发现了一些惊人相似的方法，这常常引发关于优先权的争议和剽窃指控。今天，我们可以确定，这些指控通常是毫无根据的；但在当时，这是不可能的，因为出版自己的论文并不常见。主要有两个原因。

首先，1640年以后，出版商不愿出版数学文献，因为出版利润不高；其次，数学家们不愿出版他们的新方法，只想发布结果。许多论文不得不等待很长时间才能出版：有些论文直到19世纪末20世纪初才出版，有些至今仍未出版。

直到17世纪最后三十年，科学期刊才出现；在此之前，数学家们通过书信交流。法国人Marin Mersenne在这方面发挥了重要作用，因为他通过书信和在巴黎修道院举行的会议与许多欧洲科学家保持联系。他向数学家们寄送自己无法解决的问题，并负责将收到的成果和手稿在感兴趣的人之间传播。

1.3 几何曲线及其相关问题(Geometrical curves and associated problems)

在17世纪，微积分与曲线的研究紧密相连，因为当时还没有关于变量或变量之间函数关系的明确概念。最早处理的曲线是从古希腊人那里继承下来的：圆锥曲线(the conic sections)、Hippias的割圆曲线(quadratrix)、Archimedes蜷(quán)线(或螺旋线)(the Archimedean spiral)、Nicomedes的蚌线(conchoid)和Diocles的蔓叶线(cissoid)。(有关这些曲线以及后续曲线的定义和历史，参见(例如)Loria 1902a。)

随着世纪的推移，这些曲线逐渐增多，其中包括摆线(cycloid)、更高阶的抛物线(parabolas)和双曲线(hyperbolas) ( $y^{m} = kx^{n}$ 和 $ky^{m} x^{n} = 1$ ，m 和 n 分别为自然数，k 为常数)、Galileo的螺旋线(spiral)，以及对圆的贝壳线(也称为“[Etienne]Pascal的 limacon”)，后者又是被称为“笛卡尔椭圆(the ovals of Descartes)”的曲线的一种变体。

除圆锥曲线外，摆线(即沿水平线滚动的圆周上一点所绘的曲线)是最常被研究的曲线。它的早期历史与一个被称为“Aristotle之轮(Aristotle's wheel)”的问题有关(参见Drabkin 1950a)。在解决这个问题时，Roberval推广了产生曲线的运动，并考虑了短摆线(curtate cycloid)和长摆线(prolate cycloid)(它们分别由半径上、圆内外的点绘出)以及普通摆线(ordinary cycloid)。1658年，Blaise Pascal组织了一场竞赛，旨在求摆线截面的面积、重心、截面绕某些轴旋转所得立体的体积，以及这些体积的重心(Pascal 1658a和1658b)。

在《几何学》(La geometrie)(1637a)中，笛卡尔提出了椭圆作为一条曲线，用于解决各种光学问题。其中一个问题是确定透镜的形状，使所有来自同一点或平行的光线，在穿过透镜后，汇聚到另一个唯一的点(笛卡尔 1637a,362；1925a, 135)。

同样，Galileo的螺旋线(spiral)也试图解决一个物理问题：物体绕中心匀速运动，同时以恒定的加速度向中心下降，求其运动路径。Galileo的另一条曲线，即悬链线(catenary)，其形状的识别给数学家们带来了许多困难。这条曲线的形状就像一条悬挂在两点上的链条(参见2.8节)。

最后提到的三条曲线是物理学和数学相互作用的例子。在进一步讨论这个话题之前，我们先来回答一个问题：在1660年之前，数学家们解决了哪些与曲线相关的问题？

Pascal 1658年的竞赛涉及一些已解决的典型问题。其他问题包括求切线、表面积和极值；此外，还考虑了一些反正切问题(即求一条其切线具有特定性质的曲线)。最后，大约在16世纪中叶，弧的校正成为一个备受关注的问题。虽然也有更早的校正例子，但Christopher Wren在17世纪50年代后期对摆线弧的校正是第一个广为人知的例子。他将结果在竞赛之外寄给了Pascal(参见Wren 1659a，或《Wallis著作集》(Wallis Works)，第1卷，第532-541 页)。

尽管这些问题的解法既可以应用于物理学，也可以应用于天文学，但它们的灵感更多地源于古希腊数学，而非物理学和天文学。古希腊人研究过上述所有类型的问题；因此，我们可以将对这些问题的研究视为古希腊数学家传统的延续。这并不意味着数学和物理学之间没有关联。这种情况一直持续存在，原因在于，在这一时期，重要的物理学家往往也是重要的数学家。然而，很难明确指出一个具体的物理问题启发了数学家们去研究上述问题。然而，在17世纪50年代后期，一个新的数学问题出现了，它源于物理学，即对渐屈线(evolute)的研究，它是由Huygens在其摆钟工作中开启的。

1.4 代数和几何(Algebra and geometry)

当古希腊人意识到不可通约量(incommensurable magnitudes)的存在时，这意味着比率数(rational numbers)不足以用于测量时，他们便将几何学作为数学中非数论部分的基础，用直线来代替连续的数域。这种态度催生了几何代数(geometric algebra)(译注：即用几何方法来研究代数，用几何表示方法来表示代数)，Euclid、Archimedes和Apollonius的计算正是基于此。

随着时间的推移，方程理论逐渐从几何学中分离出来，大量的符号系统逐渐为这门学科发展起来。Viète在其著作《分析艺术导论》(In artem analyticen isagoge，1591a)中对符号的引入做出了巨大贡献。在书中，他强调了使用符号不仅表示未知量，而且表示已知量的优势(Viète，1591a，ch. V, 5；Works, 8，或 1973a, 52)。通过这种方式，他可以处理一般的方程。

Viète还通过确定与各种几何构造相对应的方程，将代数和几何联系起来。他只在几何问题是确定性的时才使用这种技巧，并得出一个未知量的确定方程。下一步是在解决几何轨迹问题时使用两个未知量的不定方程。Fermat和Descartes几乎同时迈出了这一步。

Fermat的论文《平面和立体轨迹导论》(Ad locos pianos et solidos isagoge，1637a)对解析几何及其一些应用进行了教学性的介绍。然而，这篇论文并没有产生太大的影响，原因很简单，因为Descartes的《几何学》出版得早于它广为人知。《几何学》以高超的技巧探讨了许多主题，但它以解析几何的导论开篇，对于初学者来说，理解起来并不容易。尽管如此，这部著作仍然产生了巨大的影响，尤其是在van Schooten于1659年出版了拉丁文译本并附有注释之后。它的成功主要归功于Descartes的符号，它体现了天才的标志。它不会让现代读者感到惊讶，因为它是至今仍在使用的符号的开端；但在当时，它是革命性的。毫无疑问，《几何学》中的符号和思想对微积分的发展产生了积极的影响，尽管只是间接的影响。

1.5 Descartes确定法线的方法和Hudde法则 (Descartes's method of determining the normal, and Hudde's rule)

(译注：法线(normal line)，即(某条直线的)垂线(perpendicular),中文中将它译成“法线”毫无道理，中文中“法”并无“垂直”之意，因此下文中都将其译为“垂线”。)

Descartes在《几何学》(La géométrie)中描述了他确定代数曲线任一点处垂线的技术。他非常重视这种方法，这一点可以从以下引言中看出(1637a, 341; 1925a, 95)：

“This is my reason for believing that I shall have given here a sufficient introduction to the study of curves when I have given a general method of drawing a straight line making right angles with a curve at an arbitrarily chosen point upon it. And I dare say that this is not only the most useful and most general problem in geometry that I know, but even that I ever desired to know.”(正因如此，我相信，当我给出一种通用方法，在任意一点绘制与曲线成直角的直线时，我已对曲线研究进行了充分的介绍。我敢说，这不仅是我所知的几何学中最有用、最普遍的问题，甚至是我一直以来渴望知道的。)

--------------------------------图 1.5.1 -------------------------------------

设已知代数曲线 ACE，要求在 C 点处作曲线的垂线(见图1.5.1)。Descartes 假设直线 CP 是该问题的解。设 CM = x，AM = y，图形 AP = v，CP = s 。虽然他总是使用特定的例子，但为了方便起见，我们假设曲线具有以下方程：

(1.5.1) $x = f (y)$

我们还将在一定程度上使他的符号现代化。

除了曲线，Descartes 还考虑了圆心为 P 且经过 C 的圆 $c_{P}$ ；也就是说，圆的方程为:

(1.5.2) $x^{2} + (v-y)^{2} = s^{2}$ 。

这个圆将在 C 处与曲线 CE 切触(或相切)(touch)，但不与曲线 CE 相交。而圆 $c_{Q}$

(1.5.3) $x^{2} + (v_{Q}-y)^{2} = {s_{Q}}^{2}$

在与 P 不同的一点 Q 且经过 C，其将不仅与曲线相交于点 C ，而且还相交于曲线上的另一点，我们不妨设这一点为 E 。这意味着通过从 (1.5.1) 和 (1.5.3) 中消去 x 而得到的方程

(1.5.4) $(f (y))^{2} + (v_{Q}-y)^{2} - {s_{Q}}^{2} = 0$

具有两个不同的根(注：Descartes 仅考虑了 $(f (y))^{2 }$ 是一个以 y 为变量的多项式曲线或 $y^{2}$ 是一个以 x 为变量的多项式曲线)。但“ C 和 E 越靠得近，这两个根之差越小，最后，当这两个点重合时，即当圆经过 C 且与曲线相切于C 但不相交时，此二根恰好相等”(Descartes 1637a,346-347；1925a,103-104)。

因此，通过分析使 Descartes 得出结论：当 P(即 v)是按这样的方式确定时，即使得方程

(1.5.5) $(f (y))^{2} + (v-y)^{2} - s^{2} = 0$

有两个等于 $y_{0}$ 的根(或者相应的消除 y 的方程具有一对相等的根)，则 CP 将是 C 处曲线的垂线。用现代的概念来说，不难认识到，这个要求给出了正确的表述：对于次垂线(sub-normal) MP ,有

(1.5.6) $v - y_{0} = f^{'}(y_{0})f(y_{0})$ 。

Descartes 通过求椭圆的垂线(1637a, 第 347 页 ; 1925a, 第104页）来阐述他的方法。将其方程写成如下形式

(1.5.7) $\displaystyle x^{2} = ry - \frac{r}{q}y^{2}$ 。

他发现与 (1.5.5) 相对应的方程是

(1.5.8) $\displaystyle y^{2} + \left (\frac{ rq-2vq}{q-r}\right )y + \frac{qv^{2}-qs^{2}}{q-r} = 0$ 。

当

(1.5.9) $\displaystyle \frac{rq-2vq}{q-r} = -2y_{0}$ 和 $\displaystyle \frac{qv^{2}-qs^{2}}{q-r} = {y_{0}}^{2}$

时，这个方程有两个等于 $y_{0}$ 的根；因为点 C 和 $y_{0}$ 已知，根据 (1.5.9) 可得次垂线

(1.5.10) $\displaystyle v - y_{0} = \frac{r}{2} - \frac{r}{q}y_{0}$ 。

尽管要说明(即便不能完全说明)当 C 点和 E 点重合时会发生什么情况，需要考虑到极限，(注：若我们令 E 的坐标为 $( y_{0} + \Delta y ,f (y_{0} + \Delta y))$ ，则要求 C 和 E 位于以轴上的 Q 为圆心的同一个圆上就给到了我们一个条件：

$\displaystyle AQ = y_{0} + \frac{\Delta y}{2} + \left (\frac{f (y_{0} + \Delta y)-f (y_{0}) }{\Delta y} \right ) \left (\frac{f (y_{0} + \Delta y)+f (y_{0} )}{2} \right )$ 。

( 为了获得这个结果，令 F 为 CE 的中点，并注意到 QF ⟂ CE 。 ) 则 P 和 v 点由点 C和 E 的重合决定，即：

$\displaystyle v = AP = \lim_{\Delta y \rightarrow 0}{AQ} = f^{'}(y_{0})f(y_{0}) + y_{0}$ 。）

但 Descartes 通过将圆与曲线的双重接触视为垂线的特征，避免了使用无穷小量，并获得了一种代数方法。他的信件表明，在解决一些问题时，他确实采用了涉及无穷小量的方法。然而，他认为这些方法不够精确，不足以发表。

在原则上，笛卡尔方法适用于任何代数曲线。但当曲线方程并非简单的代数方程时，该方法会变得繁琐，因为需要进行繁琐的计算才能通过比较系数来确定 v 。

荷兰数学家(后来成为阿姆斯特丹市长)Johann Hudde 发明了一条确定二重根的法则。他在给 Frans van Schooten 的一封信中描述了他的方法，后者将其发表在1659年Descartes 拉丁文版《几何学》(La géométrie)中(Hudde 1659a,第 507 页 )：

“如果一个等式中有两个根相等，并且该等式乘以任意等差数列，使得等式的第一项乘以数列的第一项，依此类推，则我称该乘积将是一个再次求得已知根的等式。”

对于这条法则，Hudde 给出了一个证明，用现代符号表示如下。令 $x=x_{0}$ 是多项式 p(x)方程的一个二重根，即

(1.5.11) $\displaystyle p(x) = (x-x_{0})^{2} \sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} x^{i} = \sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} (x^{i+2}-2x_{0} x^{i+1}+{x_{0}}^{2} x^{i})$ 。

并令 a, a + d ,…,a + (n + 2)d 为任意等差级数。然后我们在 p(x) 中用 a 乘以常量项 $\alpha_{0}{x_{0}}^{2}$ ,用 a + d 乘以 p(x) 中的第一次项，如此等等。将这个过程产生的结果用 ( p(x), a , d ) 表示；即，

(1.5.12) $\displaystyle ( p(x), a , d ) = \begin{array}{rlc} \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} \{(a+(i+2)d) x^{i+2}-2(a+(i+1)d)x_{0} x^{i+1} \\ + (a + id)x_{0}^{2} x^{i}\} \end{array}$ 。

(注意

(1.5.13) $( p(x), a , d ) = ap(x) + dx p^{'}(x)$ ,

其中， $p^{'}(x)$ 是 p(x)的导数，而 “dx” 指的中 “ $d \times x$ ” 。) 若我们置 $x_{0} = x$ ，则 (1.5.12) 中花括号内的表达式消没。因此我们有 $( p(x_{0}), a , d ) = 0$ 。

多项式有一对相等根的必要条件使得 Descartes 方法更容易应用，因为人们可以这样安排等差级数，使得一个困难的项可以乘以0。我们看到，在1664年秋天的研究中，Newton 结合使用 Descartes 方法和 Hudde 法则，求得了曲线的次垂线(Newton论文，第 1 卷，第 217 页及后续页)。

Hudde 将其法则应用于极值的确定，其假设是，如果 a 是使 p(x) 为极值的值，则方程 p(x) = p(oc) 有两个相等根(参见 Haas 1956ay 250-255)。他还将这一程序扩展为确定次垂线的法则(1659b)。他没有证明这条法则，但它很有趣，因为它是最早的普遍法则之一。设曲线方程为 p(x, y ) = 0，其中 p 是关于 x 和 y 的多项式；Hudde 法则指出，点 (xy ，y) 的次切线 t 为

(1.5.14) $\displaystyle t = \frac{-x(p(x,y),a ,d )_{y}}{(p(x,y),a ,d )_x}$ 。

下标表示，分子中 p (x, y ) 应被视为关于 y 的多项式，而分母中 p (x, y ) 应被视为关于 x 的多项式。从 (1.5.13) 式可得

(1.5.15) $\displaystyle t = \frac{-x(ap(x,y)+ dy{p_y}^{'} (x,y))}{(ap(x,y)+dx{p_{x}}^{'} (x,y) }$ 。

(其中撇号表示对下标变量的微分),或者，由于 p(x ,y) = 0 ，

(1.5.16) $\displaystyle t = \frac{-y{p_{y}}^{'} (x,y)}{{p_{x}}^{'} (x,y)}$ 。

微积分发明后，Hudde 的方法并没有被遗忘；例如，PHopital 在其 1696a 年著作第 10 章第 192 段中对其进行了评论(另见下文 2.5 节)。

1.6 Roberval的切线方法(Roberval’s method of tangents)

17世纪30年代末，Gilles Personne de Roberval 和 Evangelista Torricelli 分别独立发现了一种利用运动学论证的切线法。1644年，Torricelli 在其著作《几何歌剧》(Opera Geometrica)中发表了其方法在抛物线上的应用( Torricelli 1644a, 119-121；Works, vol. 2, 122-124)。同年，Mersenne 在其著作《物理数学思想》( Cogitata physico mathematica)中提到了 Roberval 的方法，并将其应用于抛物线(Mersenne 1644a, 115-116；参见 Jacoli 1875a )。Roberval 的学生 Francois du Verdus 撰写了一篇关于Roberval 方法的论文。它最终于1693年出版(《罗伯瓦尔观测》)，并广为人知，因此运动学方法以 Roberval 的名字命名。

该方法基于两个基本思想。首先，将曲线视为一个动点同时受到两个运动的驱动而形成的路径。其次，将给定点的切线视为该点的运动方向。如果两个生成运动相互独立，则合成运动的方向可由复合运动的平行四边形定律确定。然而，Roberval 也将他的方法应用于类割圆曲线(quadratrix)和蔓叶线(cissoid)曲线，在这些曲线中，他考虑的生成运动是相互依赖的。正如我们将看到的那样，他在复合运动时巧妙地弥补了这种相互依赖性。

Roberval 成功地确定了当时普遍考虑的所有曲线的正确切线。然而，对于圆锥曲线，切线的确定却不正确，因为他将生成运动理解为远离焦点或远离焦点和准线的运动，并错误地使用了平行四边形(parallelogram)法则来合成这些运动(参见 Pedersen 1968a，165 页及后续)。

-----------------------------------图 1.6.1------------------------------------

为了说明该方法，我们首先看看 Roberval 是如何确定摆线切线的(Roberval $W\!orks_{2}a$ 第 58-63 页 ) 。设 ABC 是由圆 AD 生成的摆线(cycloid)；也就是说，ABC 是圆绕直线 AC 旋转一周后点 A 的轨迹(比较图 1.6.1，其中画出了普通摆线)。A 的运动由方向为 AC 或 EF 的匀速运动和绕生成圆圆心的匀速旋转的复合，旋转在点 E 的方向是生成圆在 E 点的切线，即 FH 。这两个运动速度之比等于 AC 与周长 ADA 之比，因此，如果点 H 由

(1.6.1) EF: FH = AC : 周长 ADA

所确定，则 EH 为摆线在 E 点的切线。对于普通摆线，右边的比值等于 1，而 Roberval 从几何上证明了 EH 与 FB 平行。

因此，该方法很容易应用于摆线；但为了说明它的普遍性，我们不妨考虑一下Roberval 对四边形切线的确定。在图 1.6.2 中，我们让正方形 ABCD 的两条边 AD 和 CD 同时移动，AD 绕 A 作匀速旋转，CD 作平行位移，使得 AD 和 CD 同时与 AB 重合。两条直线的交点将构成四边形 DFH。令 F ( IN 与 AD1 的交点)为四边形的一个点，我们来看看他是如何确定 F 处的切线的。(实际上，他考虑的是 DFH 延长线上的一个点，但原理是一样的。)

----------------------------------图 1.6.2----------------------------------

Roberval 首先令线 FK 表示线 IN 的速度(velocity)。从割圆曲线的定义可知，F 描述直线 FK ，同时 $D_{1}$ 描述圆弧 $D_{1}B$ ，因此圆弧 $D_{1}B$ 表示 $D_{1}$ 的圆周运动的速度。因为

(1.6.2) (F 圆周运动的速度):( $D_{1}$ 的圆周运动的速度) = $AF: AD_{1}$ = 弧 $FG: D_{1}B$ 。

弧 FG 表示 F 的圆周运动速度；此外，由于 F 的圆周运动方向垂直于 AF，因此 F的圆周运动可以用与圆弧 FG 长度相等的垂线段 FR 表示。为了获得 F 的运动方向，他先画一条经过 R 且平行于 AF 的直线 RS，并求出 RS 与 AB(即过 K 且平行于 IF 的直线)的交点 M ，并连接 F 和 M 。这样，FM 就是切线。

Roberval 在其他案例中也运用了这种普遍方法。他的论证并不十分清晰，但与以下论证有很多共同之处。F 的运运可以从两个方面来思考：

(1) F 在割圆曲线上的运动是由 F 参与 AF 运动(瞬时速度为 FR)所产生的运动，以及 F 在 AF 上的运动(因为 AF 必须是交点)所构成的复合运动；最后一个运动的方向是 AF 或 RS 。通过复合这两个运动，我们可以看出 F 的运动方向线始于 F 点，止于 RS 线。

(2) 类似地，通过将 F 参与 IF 运动时的运动与其在 IF 上的运动相加，可知其运动方向为一条始于F、止于 AB 的直线。由于 (1) 和 (2) 的结论均须满足，故上述构造成立。

Roberval 和 Torricelli 将瞬时运动方向视为已知方向，从而避免了在他们的方法中使用无穷小量。他们的方法还有一个优点，就是适用于不参考笛卡尔坐标系的曲线。然而，由于速度无法普遍确定，该方法并不具有普遍性。

有趣的是，Newton 1666 年提出的切线法与 Roberval 的思想如出一辙。对于代数曲线，Newton 只需使用一次该方法即可求出公式表达的次切线；但对于像二次曲线这样的超越曲线，他求切线的方法几乎与 Roberval 相同(见《Newton 论文集》，第1卷，第 416-418页)。

1.7 Fermat的最大值和最小值方法(Fermat's method of maxima and minima)

大约在公元1636年，法国数学家们流传着一本 Fermat 的回忆录，名为《研究最大值和最小值的方法》( Methodus ad disquirendam maximam et minimam：Methodus )。

这本书意义非凡，因为它提供了已知的第一种确定极值的通用方法。它还包含另一个引人注目的特征，即赋予一个量值一个增量，我们可以将其解释为自变量(independent varialbe)。

回忆录的开头是这样的：“确定最大值和最小值的整个理论都基于两个用符号表达的位置，以及这唯一的规则。” 该规则如下：

I. 令 A 为与问题相关的项；

II. 最大值或最小值用包含 A 幂的项表示；

III. 用 A + E 替换 A，然后将最大值或最小值用包含 A 和 E 幂的项表示；

IV. 使最大值或最小值的两个表达式“相等(adequality)”，类似于“尽可能接近相等”；(注：Fermat使用了“adaequo”这个词。Mahoney 将其翻译为“set adequal”(1973a，162)。Adequality 的概念源自 Diophantus(同上，163-165)(译注：Diophantus 为古希腊数学家)。

V. 删除公共项；

VI. 所有项均除以 E 的幂，使得至少有一个项不包含 E；

VII. 仍然包含 E 的项将被忽略；

VIII. 使其余项相等。

这最后一个方程的解将得出使表达式取极值时的 A 值。Fermat 通过在线段 AC 上找到使矩形 AE.EC 达到最大值的点 E 来说明他的方法。令 AC = b，我们将 Fermat 的 A 代入 x (使得 AE = x)，将 E 代入 e；这样，我们必须最大化表达式 x(b - x)。按照这种方法，我们有

(1.7.1) $(x + e)(b - (x + e)) \approx x(b - x)$ ，

其中，“≈”表示“尽可能相等(adequality)”(译注：或“约等于”，或“可以认为相等”)。移去两边都有的共有项，我们得到

(1.7.2) $be \approx 2xe + e^{2}$

再除以 e ，得到

(1.7.3) $b \approx 2x + e$ 。

最后我们忽略 e 项，得到 b ≈ 2x 。

我们很容易通过令 A = x，E = Δx，且量(quantity) = f(x) 来重现 Fermat 的方法；该法则告诉我们

(1.7.4) IV,V 表明 $f (x + \Delta x) - f (x) \approx 0$ ,

(1.7.5) VI 表明 $\displaystyle \frac{f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x } \approx 0$ ，

(1.7.6) VII，VIII 表明 $\displaystyle \left (\frac{f (x +\Delta x) - f (x)}{\Delta x} \right )_{\Delta x} \approx 0$ 。

对于可微函数，用现代术语可以解释为，使得 f (x) 成为局部极值的 x 由以下方程确定

(1.7.7) $\displaystyle f^{'}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\bigg \{\frac{f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x }} \bigg \} = 0$ 。

然而，这样解读会对该方法进行过度解读。首先，Fermat 并没有将量视为函数。其次，他没有提及 E 是无穷小，甚至不是小量，而且该方法不涉及任何极限的概念；它纯粹是代数方法。第三，第 6 章中的表述在这种解释下毫无意义，因为我们总是必须除以 E 的一次方。然而，他的例子表明，有时他会除以 E 的更高次方。原因是，如果量包含平方根，他会在应用法则的最后步骤之前先求出该等式的平方。请注意，他并没有强调他的方法只给出了一个必要条件。

科学史上，很少有成果像 Fermat 的最大值和最小值方法那样受到如此深入的考察。他撰写了大约十几篇短篇回忆录，解释并应用了他的方法。历史学家们对他这些非常简短的描述感到困惑，并且对这些回忆录的日期和他思想的顺序存在分歧。在我看来，他很可能以他在手稿《Syncriseos et anastrophes》( Syncriseos；参见 Mahoney 1973a，第145-165页)中暗示的方式发展了他的思想。

Fermat 在这里称，他通过研究 Viète 的方程理论，并将其与 Pappus 用来刻画最小比率的表达式 “μoναχός” 相结合，得到了确定极值的方法的思想(参见 Pappus 文集，第 7卷，定理 61)。Fermat 将“μoναχός”理解为“singular”，即“unique”(独一无二的)参见其著作，第 1 卷，第 142 ，147 页)，并给出了一个示例来解释他的意思。长度为 B 的线段一定被某点分割，使得分割成的两条线段的乘积最大。所求的这点便是中点，使得两线段的乘积等于 $B^{2}/4$ 。若 $Z < B^{2}/4$ ，则方程

(1.7.8) $X( B - X ) = Z$

将有两个根。令它们分别为 A 和 E 。按照 Viète 的方程理论，Fermat 得到

(1.7.9) $A( B - A ) = E( B - E )$

或

(1.7.10) $BA - BE = A^{2} - E^{2}$ 。

通过除以 A – E ，可以看到 B = A + E 。Z 越接近 $B^{2}/4$ ，则 A 与 E 的差值越小；最后，当 $Z = B^{2}/4$ 时，A 将等于 E ，且 B = 2 A 。这是引出最大乘积的唯一解。换句话说，要求最大值，必须使两个根相等。

由于用二项式 A - E 除法可能比较复杂，Fermat 选择将两个根分别设为 A 和 A + E ，然后除以 E ，最后通过置 E = 0 使两个根相等。经过这些考虑，他重复了本节开头 I-VIII 中概述的方法(Methodus)的程序。在这个过程中，他没有令 E = 0，而是忽略了仍然包含 E 的项。然而，过程是一样的，并且在应用他的方法时，将 E 或相应的量级设为 0 已成为一种惯例。

直到人们意识到重要的过程是

(1.7.11)

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\bigg \{\frac{f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x }} \bigg \}$ ，

除以 E 并得出 E = 0 的计算过程，让数学家们感到头疼。他们因此受到了严厉的批评，也承认这个计算过程并不令人满意。

Huygens了解、应用并简化了 Fermat 方法，并试图徒劳地从逻辑上证明它(1652 年手稿，刊载于《Huygens 著作集》(Huygens Works)，第 12 卷，第 61 页)。相反，他求得了另一种方法，并给出了其中一种证明(同上，第 62 页及后续页)。这种方法结合了Fermat 关于极值唯一性的思想和 Descartes 关于二重根的思想，Descartes 在垂线法中运用了二重根。简而言之，用现代的术语来说：设 p(x) 为多项式， $p(x_{0})$ 为最大值；当 $a < p(x_{0})$ 时，方程 p(x) = a 有两个根，当 $a = p(x_{0})$ 时，这两个根相等。通过比较系数， $x_{0}$ 确定于关系式

(1.7.12) $p(x) - p(x_{0}) = ( x^{2} - 2 xx_{0} + {x_{0}}^{2} ) p_{1}(x)$ ，

其中， $p_{1}(x)$ 仍旧是一个多项式。由于该方法的适用性非常有限，而且操作起来非常复杂，Huygens承认，Fermat 的方法更容易操作，他本人也接受了它。

Pierre Brûlart 请求 Fermat 证明他的方法。1643年，Fermat 在答复中另辟蹊径，考虑了 f (A ± E ) 展开式中 E 的幂的系数。尽管他无法严格证明，但他使人们相信，可以通过将 E 的系数设为 0 得到的方程来确定最大值或最小值。此外，他还表明，他理解E2 的系数在最大值时一定小于 0 ，在最小值时一定大于 0 。

对 Fermat 而言，更重要的是确保方法在实践中有效，而不是给出精确的证明。最大值和最小值法已证明了其价值，因为它在应用于一系列问题时给出了正确的结果。这些结果包括手稿《切线学说》(Doctrinam tangentium)( Fermat 全集，第 1 卷，第 166-167页)中对曲线拐点的确定。

然而，Fermat 并未止步于此；他将 Methodus 的 III-VIII 程序的使用范围扩展到了其他领域。这使他能够确定曲线的切线(下一节将会看到)、重心(1638a)以及正弦折射定律(1662a)。

1.8 Fermat的切线法(Fermat's method of tangents)

在 Methodus 中，Fermat 确定了抛物线(parabola)的切线，并将其作为其最大值和最小值方法的应用。在讨论该方法之前，我们先来考虑一下这个例子(费马全集，第1卷，第134-136页)。设抛物线为 DB，其轴为 DC，如图 1.8.1 所示。Fermat 想求 B 点的切线；假设 B 点的切线为 BE，且假设其次切线为 EC。他在 BE 上任意取一点 O ，并画出与纵坐标 BC平行的 IO 。设 P 为 IO 与抛物线的交点。

---------------------------------图 1.8.1----------------------------------

根据不等式 IO > IP 以及抛物线的属性

(1.8.1) $DC:DI = CB^{2}: IP^{2}$ ，

可推导出

(1.8.2) $DC:DI = CB^{2}: IO^{2}$ 。

因为三角形 EIO 和三角形 ECB 是相似的，我们有

(1.8.3) $CB^{2}:IO^{2} = EC^{2}: EI^{2}$ 。

因此

(1.8.4) $DC:DI > EC^{2}: EI^{2}$ 。

令 DC = x( x 已知，因为 B 已知)，EC = a(未知量) 以及 IC = e 。则 (1.8.4) 成为

(1.8.5) $x :( x - e) > a^{2}: (a - e)^{2}$ ,

或

(1.8.6) $xa^{2} + xe^{2} - 2xae > xa^{2} - a^{2}e$ 。

Fermat 用“等式”替换这个不等式得到

(1.8.7) $xa^{2} + xe^{2} - 2xae \approx xa^{2} - a^{2}e$ 。

通过使用最大值和最小值方法，他得到 a = 2xy，从而确定正切。

Descartes 在1638年1月写给 Mersenne 的一封信中反对这一判定，认为它没有解决极值问题(参见《Fermat 全集》，第 2 卷，第 126-132 页，或《Descartes 全集》，第 1 卷，第 486 – 493 页)。他还指责 Fermat 没有利用曲线的性质，因此该判定对所有曲线都会得出相同的结果。最后一个反对意见显然是错误的，这可以归因于 Descartes 在 Fermat批评了他的《屈光算子》(Dioptrique)(1637a)后对 Fermat 采取的敌对态度。然而，第一个反对意见值得探讨。

对于轴凹的曲线，不等式 IO > IP 成立；对于凸曲线，不等式 IO < IP 成立。对于没有拐点的曲线，可以根据这些不等式找到一个依赖于 a - e 和 x - e 的量值，该量值在 x - e = x 时有一个极值(参见 Itard 1947a, 597 和 Mahoney 1973a, 167)。由于 x( = DC) 已知，因此可以根据对极值的要求确定 a 。然而，无论是在“Methodus”还是 Fermat 的后期著作中，都没有任何迹象表明他是这样将他的切线法与他的最大值和最小值方法联系起来的。在 1638 年 6 月的回忆录 1638b 中，Fermat在解释了他的方法之后，试图表明最大值和最小值方法与切线法之间存在联系。然而，通过求解极值问题，他求出的不是曲线的切线，而是垂线。这导致了一种与《Methodus》中使用的、并在回忆录中解释的算法截然不同的算法。因此，他在建立切线法时不太可能使用这种关系。(顺便说一句，Fermat 所求解的极值问题是 Descartes 在第一次攻击Fermat方法时提出的。) 所以，Descartes 提出反对意见，认为切线法不是最大值和最小值法的直接应用，终究是正确的。

在刚才提到的回忆录中，Fermat 向 Descartes 解释了他的切线法，他清楚地表明，他只使用了从求取最大值和最小值的方法中得出的程序。Descartes 后来接受了这个方法。用现代符号，Fermat 的解释可以如下方式重现。设 B 是曲线 f ( x ,y) = 0 上的点 (x ,y)，设 DI = x - e(见图1.8.1)。由相似三角形 EOI 和 EEC ，我们得到

(1.8.8) $\displaystyle IO = \frac{y(a-e)}{a}$ 。

由于 IO 几乎等于 PI ，Fermat 记为

(1.8.9) $\displaystyle f \left (x-e,\frac{y(a-c)}{a}\right ) \approx 0$ 。

这是他根据最大值和最小值方法应用其程序所得到的“等式”。不难看出，这将会引出一个对应 a 的表达式

(1.8.10) $\displaystyle a = -\frac{yf_{y}^{'}}{f_{x}^{'}}$ 。

若我们有抛物线 $\alpha x = y^{2}$ ，根据 (1.8.9) 我们得到

(1.8.11) $\displaystyle \alpha(x - e) -\frac{y^{2} (a-e)^{2}}{a^{2}} \approx 0$ 。

或

(1.8.12) $y^{2} (a-e)^{2} \approx a^{2}\alpha(x - e)$ ；

由于 $y^{2} = \alpha x$ ，则

(1.8.13) $x(a-e)^{2} \approx a^{2}(x - e)$ ,

这便是 (1.8.7) 。

由于这个方法要求

$\displaystyle f \left (x-e,\frac{y(a-c)}{a}\right )$

的发展，它最初的表述仅适用于代数曲线(因为在 Fermat 时代，只发展了代数函数)。然而，在《切线学说》(Doctrinam tangentium)中，Fermat 将其应用范围扩展到一些超越曲线。他引入了两条原理(Fermat 全书，第1卷，第 162 页)，指出

(1) 允许……用已经求得的切线的纵坐标替代曲线的纵坐标……

(2) 允许……用已求得的切线的相应部分替换曲线的弧长……

这两个原理使他能够确定摆线(cycloid)的切线(同上，第 163 页)。设 HCG 是顶点为 C、母圆为 CMF 的摆线(图1.8.2)，RB 是任意点 R 处的切线。为了方便起见，我们用一些现代符号复现他的分析。设 CD = x，RD = f (x)，MD = g(x)，待研究的量级为 DB = a 。摆线的特殊性质如下：

(1.8.14) $f(x) = RM + MD = \mathsf{arc}\; {CM} + g(x)$ 。

令 DE = e ，画一条与 RD 平行的 NE，与 RB 相交于 N，与圆相交于 O；按照切线法的惯例，我们有

(1.8.15) $\displaystyle NE = \frac{f(x)(a-e)}{a} \approx f (x - e)$ ,

其中，

(1.8.16) $f(x - e) = \text{arc}\;{CO}+ g (x - e)=\text{arc}\;{CM}-\text{arc}\;{ OM}+g(x-e)$ 。

设 MA 为圆在 M 点与圆在 F 点与 NE 点相交的切线，且设 MA = d，AD = b 。

---------------------------------图 1.8.2----------------------------------

根据第一原理，Fermat 得到

(1.8.17) $\displaystyle g(x - e) \approx EV = \frac{g(x)(b-e)}{b}$ ，

而根据第二原理得到

(1.8.18) $\displaystyle \text{arc}\;{O\!M} \approx M\!V = \frac{de}{b}$ 。

因此，

(1.8.19) $\displaystyle f(x - e) \approx \text{arc}\;{C\!M}- \frac{de}{b} +\frac{g(x)(b-e)}{b}$ ，

其结合(1.8.14) 和 (1.8.15) 得到

(1.8.20) $\displaystyle \frac{(\text{arc}\;{C\!M}+g(x))(a-e)}{a} \approx \text{arc}\;{C\!M} - \frac{de}{b} + \frac{g(x)(b-e))}{b}$ 。

因此，根据标准程序，有

(1.8.21) $\displaystyle \frac{\text{arc}\;{C\!M}+g(x)}{a} \approx \frac{d+g(x)}{b}$ ，

或

(1.8.22) $\displaystyle \frac{f(x)}{a} = \frac{d+g(x)}{b}$ 。

在几何上，可以看到

(1.8.23) $\displaystyle \frac{d+g(x)}{b}= \frac{g(x)}{x}$ ，

因此，R 处的切线平行于 MC 。

1.9 穷竭法(The method of exhaustion)

17世纪上半叶被认为是理想的几何积分方法是穷竭法，它由 Eudoxus 发明，并由Archimedes 改进。穷竭法的名称并不恰当，因为其理念是避免无穷大，因此无法穷举出待确定的图形，这一点可以从下文对其思想的概述中看出(参见 Dijksterhuis 1956a，第130-132 页 )。

该方法旨在证明待研究的面积、曲面或体积 X 等于已知同类型的量(magnitude) K (例如，X 可以是球面面积，K 是球面上的四个大圆)。构造一个单调上升序列 $I_{n}$ 和一个单调下降序列 $C_{n}$ ，它们分别是 X 的内接图形和外接图形。由此得到结论：

(1.9.1) $I_{n} < X < C_{n }$ (对于所有 n ) 。

然后证明，对于任意量 ε > 0 ,都存在一个整数 N 使得

(1.9.2) $C_{N} - I_{N} < \epsilon$ ；

或者证明，对于任意两个同类量 μ 和 ν ( μ > ν > 0) ，存在一个整数 N 使得

(1.9.3) $C_{N} : I_{N} < \mu : \nu$ ，

且

(1.9.4) $I_{n} < K < C_{n}$ (对于所有 n ) 。

根据 (1.9.1), (1.9.2)(或(1.9.2))，以及 (1.9.4)，利用归谬法(reductio ad absurdum)可推导出 K = X。

最后的证明总是以相同的方式进行，无论其大小如何。然而，每当应用该方法时，古希腊数学家们都会将论证过程写得一丝不苟。原因可能是他们没有一种易于处理一般情况的符号。此外，建立证明的基本不等式(尤其是(1.9.4))相当复杂，而且该方法只有在 K 已知的情况下才能使用。这意味着，如果要得到结果，需要用另一种方法来补充它。

17 世纪初的数学家们渴望找到一种与穷竭法相比更直接的方法来获得结果。如果这种新方法除了能给出结果，还能用来证明所得到的关系，那就更好了。如果人们已经认识到

(1.9.5) $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}C_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty}I_{n}$ ，

并令 X 等于该极限，那么这种直接的方法或许已经找到了；然而，这不符合 17 世纪数学家的表达风格和抽象能力。

他们追随的路径是对几何量的直观理解。他们设想一个区域可以被无数条平行线填满。1906年，Heiberg 发现了 Archimedes 的方法，并发现 Archimedes 在寻求结果时也采用了这种观点。然而，他认为这种方法不够严谨，不足以应用于证明。Kepler 也曾使用过涉及此类直观考虑的技术，而首次系统阐述不可分体方法的目的就是使这些技术合法化。Cavalieri 在1635年发表了这篇名为《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》(用新方法推进的连续统不可分几何体：1635a，以下简称《几何学》)的论文，当时 Cavalieri 是 Bologna 大学的数学教授。其中所包含的思想是在 1627 年发展起来的，这可以在 Cavalieri 写给 Galileo 的一封信中看到( Galileo 著作，第 13 卷，第 381 页 )。

数学家们对不可分式(indivisibles)方法证明的重要性持有不同意见。大多数思考这个问题的人认为不可分式方法是一种启发式方法，并且认为穷竭证明仍然是必要的。因此，穷竭法在 17 世纪得到了修改和扩展(参见 Whiteside 1961a，333-348)。然而，在很多情况下，数学家们仅仅局限于这样的观点：不可分式方法所获得的结果可以通过穷竭证明轻松证明。

1.10 Cavalieri之不可分法(Cavalieri's method of indivisibles)

《几何学》以及 Cavalieri 后来的著作《六道几何习题》(Exercitationes geographicae sex)在数学家中广为人知。这些著作启发了许多人去探索自己的方法，而 Fermat 和 Roberval 等人则独立于 Cavalieri 求到了自己的积分方法。

Cavalieri 在其《几何学》中提出了两种不可分项方法，并分别称之为“集合法(collective)”和“分配法(distributive)”。《几何学》七卷中的前六卷体现了集合法，其总结见第一卷《习题》。本节的框架不可能全面阐述 Cavalieri 在这六卷中引入和发展的广泛概念和思想，但以下概述可以粗略地概括他的方法。

---------------------------------图 1.10.1-------------------------------

设平面图形 F = ABC 由曲线 ABC 和直线 AB 界定，直线 AB 称为“正则线(regula)”(图1.10.1)。Cavalieri 设想一条沿 AB 出发的直线，均匀地平行于 AB 移动，并考虑了在运动过程中，F 与直线之间截面的一系列平行线段。他将这些线段称为“已知图形的所有线”(omnes lineae propositae figurae)，有时也称它们为“已知图形的不可分割部分”。我们用 $\mathcal{O}_{F}(\ell)$ 表示。

用现代的术语来表述，即为，Cavalieri 构造了一个从平面图形的集合到由一束束平行线段组成的集合的映射

(1.10.1) $F \longrightarrow \mathcal{O}_{F}(\ell)$ 。

然后他将 Eudoxus 的量理论(见 Euclid 《数学原理》(Elements) 第 V 册)以包含这个新的量 $\{\mathcal{O}_{F}(\ell) \}$ 。此后，他建立了两个平面图形(Cavalieri 1635a，第二册，定理 3)之间的这个基本关系(尽管在数学上并不令人满意)

(1.10.2) $F_{1} : F_{2} = \mathcal{O}_{F_{1} }(\ell):\mathcal{O}_{F_{2}}(\ell)$ 。

通过令正则线成为一个平面，他以类似的方式获得了关系

(1.10.3) $S_{1} : S_{2} = \mathcal{O}_{S_{1} }(p):\mathcal{O}_{S_{2}}(p)$ ,

其中， $S_{i}$ 是一个固体，而 $\mathcal{O}_{S_{i}}(p)$ 是包含它的整个平面(i = 1, 2 )。

Cavalieri 的目标是通过计算 (1.10.2) 式右边的比率来求出左边的比率。在这一过程中，他得益于一条公设(该公设引出了下文所述的“Cavalieri 定理”)、对先前结果的巧妙运用、关于相似图形的定理以及线段的幂之概念。

该公设(1635a，第二卷定理 4 的推论)指出，如果在两个等高的图形 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 中，每对对应的线段(即与共同规则距离相等的线段)具有相同的比率，则 $\mathcal{O}_{F_{1} }(\ell)$ 和 $\mathcal{O}_{F_{2} }(\ell)$ 也具有相同的比率。用现代符号并结合图1.10.2，我们得到：若对于所有 0 < x < a ,有 $f_{1}(x) : f_{2}(x) = b:c$ , 则

(1.10.4) $\mathcal{O}_{F_{1} }(\ell):\mathcal{O}_{F_{2}}(\ell)=b:c$ 。

-----------------------------------图 1.10.2 ---------------------------------

将此与 (1.10.2) 结合起来，立即得到 “Cavalieri 定理”：若对于所有 0 < x < a ,有 $f_{1}(x) : f_{2}(x) = b:c$ , 则

(1.10.5) $F_{1} : F_{2} = b:c$ (1635a, 第 II 册, 定理 4)。

Cavalieri 巧妙地运用了他先前的研究成果，我们可以通过一个简单的例子来说明。从图 1.10.3 中不难看出

(1.10.6) $\mathcal{O}_{ACF}(\ell) = \mathcal{O}_{CDF}(\ell)$ 和 $\mathcal{O}_{ACDF}(\ell) = \mathcal{O}_{ACF}(\ell) + \mathcal{O}_{CDF}(\ell)$ 。

-----------------------------------图 1.10.3 ---------------------------------

从这些关系可以得出一个定理：平行四边形 ACDF (的面积分别)是三角形 ACF 和 CDF 的两倍。然而，Cavalieri 能够以更一般的方式解释它们。通过设 AC = CD ，并使用我们无法在此深入探讨的概念，他获得了一个每当他需要对应于后述的比例时都可以使用的结果，即比率

(1.10.7) $\displaystyle \int_{0}^{a}xdx: \int_{0}^{a}adx = 1:2$

(1635a，Corollarium II 与 Book II 定理 19 ：比较图 1.10.4) 。

-----------------------------------图 1.10.4---------------------------------

Cavalieri 发现了一种对 $x^{2}$ 积分的替代方法，即引入线段的平方。若不考虑 $\mathcal{O}_{F}(\ell)$ 的线段，我们取它们位于平行平面上的正方形，就得到了他所称的“已知图形的所有正方形”(“omnia quadrata propositae figurae”)；这个集合(aggregate)可以用符号表示为 $\mathcal{O}_{F}(\square \ell)$ 。

---------------------------------图 1.10.5------------------------------

让我们通过一个例子来说明这个概念的用法。对于图 1.10.5 中平行四边形 ACGE 中的每个 𝓁 ，我们有

(1.10.8) $\square R_{\ell} T_{\ell} + \square T_{\ell} V_{\ell} = 2\square R_{\ell}S_{\ell} + 2\square T_{\ell} S_{\ell}$ ，

其中， $\square R_{\ell} T_{\ell}$ 指的是基于边 $R_{\ell} T_{\ell}$ 的平方。据此关系，Cavalieri 推断出

(1.10.9) $\mathcal{O}_{AEC}(\square \ell) + \mathcal{O}_{CEG}(\square \ell) = 2\mathcal{O}_{ABFE}(\square \ell) + 2(\mathcal{O}_{MEF}(\square \ell) + \mathcal{O}_{CBM}(\square \ell))$ 。

因为三角形 AEC 和 CEG 是全等的，我们有

(1.10.10) $\mathcal{O}_{AEC}(\square \ell) = \mathcal{O}_{CEG}(\square \ell)$ ,

同样，

(1.10.11) $\mathcal{O}_{MEF}(\square \ell) = \mathcal{O}_{CBM}(\square \ell)$ 。

他进一步证明，由于三角形 CEG 和 MEF 相似，因此存在以下关系：

(1.10.12) $\mathcal{O}_{CEG}(\square \ell): \mathcal{O}_{MEF}(\square \ell) = EG^{3}:EF^{3} = 8:1$ 。

按同样的方式他求得

(1.10.13) $\mathcal{O}_{ACGE}(\square \ell): \mathcal{O}_{ABFE}(\square \ell) = EG^{2}:EF^{2} = 4:1$ 。

根据 (1.10.9)-(1.10.13) 可推导出

(1.10.14) $\mathcal{O}_{ACGE}(\square \ell) = 3\mathcal{O}_{CEG}(\square \ell)$ (1635a, 第 II 册, 定理 24 )。

这个结果的直接结果是圆柱是内切圆锥的三倍。Cavalieri 将关系式 (1.10.14) 应用于一系列关于圆锥的问题，并通过与 (1.10.6) 类比，将其解释为一种替代关系式

(1.10.15) $\displaystyle \int_{0}^{a}x^{2}dx = \frac{1}{3} a^{3}$ 。

《几何学》的前六卷，其风格大致模仿了古希腊古典数学著作，由定义和公设构成，并以此为基础精心推导出定理，全部以文字形式呈现。虽然 Cavalieri 巧妙地运用他的概念获得了许多成果，但这也使得阅读本书显得有些乏味。或许他自己也感受到了这一点；至少，他在1634年写信给 Galileo，信中提到他创作《几何学》第七卷是为了帮助那些觉得“所有直线”概念过于困难的人(《Galileo 全集》，第16卷，113页)。在这本关于分配法的最后一卷中，他转向了一种更直观的不可分割数的处理方式。

正如我们在关系式 (1.10.2) 中看到的那样，Cavalieri 运用集合法，通过比较不可分割项的集合来确定两个图形之间的比率。在分配法中，两个高度相同的图形通过比较相应的不可分割项来比较。该理论的基本关系是 Cavalieri 定理 (1.10.5)，他对此给出了一个新的证明，而没有使用集合法中的概念。

Cavalieri 方法所遭受的批评，部分针对的是他提出的不可分割数的性质以及连续统的结构问题。一些数学家认为他的意思是，平面图形是由不可分割的数构成的，而这些不可分割的数就是线段。这违背了 Aristote 的观点，即连续统可以分为与原始量级相同的部分，而这些部分又可以无限分割。为了避免他表面上的维度错误，他们尝试将平面图形设想为由宽度无限小的矩形组成。但这种区别仅仅具有理论意义，因为通常情况下，人们仍然考虑两个面积之间的比率，因此最终缺失的 Δx 被关系式

(1.10.16) $\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{\sum{a_{n}\Delta x}}{\sum{b_{n}\Delta x}}= \frac{\sum{a_{n}}}{\sum{b_{n}}}$

抵消了，其中， $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 是构成面积 A 和 B 的矩形的高度(altitudes)。

面积作为一种求和 $\sum {\Delta x}$ 的概念并未解决这个问题，因为当时人们还不确定无穷小量和无穷和的含义。尽管这些方法的基础不够严谨，但它们仍然很有用，因为它们为数学家们提供了新的结果。

1.11 Wallis之算术积分法(Wallis's method of arithmetic integration)

为了确定 Galileo 螺旋线(spiral)下的面积，Fermat 使用了一种算术求积法，他在1638年写给 Mersenne 的信中描述了这种算术求积法(《Mersenne 通信集》(Mersenne Correspondence)，第7卷，第 377-380 页)。Roberval 在其著作《不可分割的数论》(Traité des indivisible)中(注：Traité 采用了 Roberval 于 1630 年左右提出的无穷小方法。然而，Traité 的创作日期不详。它于 1693 年首次印刷(Roberval ${W\!or\!k\!s}_{1}$ )，并于 1730 年重印( ${W\!or\!k\!s}_{2}$ ))，基于算术原理对许多图形进行了平方。Pascal 在其论文《数值幂的和》(Potestatum numericarum summa)中指出，他的关于和 $\sum_{i=0}^{m}(A+id)^{n}$ (其中，A ,d 和 n 均为自然数)可以应用于曲线求积分(quadratures)(注：Roberval ${W\!or\!k\!s}_{1}$ ，第 3 卷，第 364 页； ${W\!or\!k\!s}_{2}$ 第2卷，第1272页 )。他还运用完全归纳证明法，建立了二项式系数的确定法则(1654a)。

但大多数基于算术积分方法的结果是由 John Wallis 取得的。他关于该主题的论文《无穷数的算术》(Arithmetica injinitorum，1655a)没有繁琐的证明，因为他大胆而自信地依赖于他对不同级数和之间相关性的惊人直觉。他在论文中将自己最喜欢的方法称为“归纳法”(modus inductionis)：后来，它被称为“不完全归纳法(incomplete induction)”。人们也可以称之为“类比总结(conclusion by analogy)”。

Wallis 在论文开头就通过这种方式建立了

(1.11.1) $\displaystyle \frac{\sum_{i=0}^{\ell}i}{(\ell +1)\ell } = \frac{1}{2} ,\frac{\sum_{i=0}^{\ell}i^{2}}{(\ell +1)\ell^2 } = \frac{1}{3} + \frac{1}{6\ell} , \frac{\sum_{i=0}^{\ell}i^{3} }{(\ell +1)\ell^{3}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4\ell}$ ,

以及

(1.11.2) $\displaystyle \frac{\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}}{(\ell +1)\ell^{n} } =\frac{1}{n+1}+\frac{a_{1}}{\ell}+...+\frac{a_{n-1}}{\ell^{n-1}}$ ，

其中， $a_{i}$ 是一系列比率数(rational numbers)，而 n = 4, 5, 6 ( Wallis 1655a.命题 I, XIX 和 XXXIX；著作，第 1 卷，第 365，373 和 382页 )，据此，他推断出

(1.11.3) $\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty} {\bigg \{ \frac{\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}}{(\ell +1)\ell^{n}}\bigg \} }=\frac{1}{n+1}$ (同上，第 384页 )。这种关系使得他能够求出图 1.11.1 中的曲线 $y = x^{n}$ 的平方，得到

(1.11.4)

$\displaystyle \begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\sum_{x=0}^{a}{y}}{\sum_{x=0}^{a}{b}}& =\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty}{\frac{(\frac{a.0}{\ell})^{n}+(\frac{a.1}{\ell})^{n}+...+(\frac{a.\ell}{\ell})^{n}}{a^{n}+a^{n}+...+a^{n}}} \\ \\&= \displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty}\left \{ \frac{\sum_{i=0}^{n}i^{n}}{(\ell+1)\ell^{n}} \right \} \\ \\ &\displaystyle=\frac{1}{n+1} \end{array}$ ，

这个结果对应

(1.11.5) $\displaystyle \frac{\int_{0}^{a}x^{n}dx}{a^{n+1}}=\frac{1}{n+1}$ 。

-----------------------------------图 1.11.1---------------------------------

这个结果并不新鲜，事实上，Wallis 的许多前辈也发现了这一点；但他并没有止步于此。他扩展了(1.11.3)式中 n 的范围，至少包括除 1 之外的所有比率数(rational numbers)。他扩展的基础是他对公式(1.11.3)的一个观察，即

(1.11.6) $\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty}\left \{\frac{\sum_{i=0}^{\ell+1}{\ell^{n}j}}{\sum_{i=0}^{\ell}i^{n}j}\right \}$ ( j = 1, 2, …, r )

将呈等差级数(同上，第 387 页)。此外，基于下列事实，即基于对于 0 ≤ p ≤ q (q = 1, 2, 3, …)，

${\ell}^{0} ,\quad {\ell}^{1/q},\quad {\ell}^{2/q} ...\quad {\ell}^{p/q} , ...\quad {\ell}^{1}$ 呈等比级数(geometric progression)，而

$1 ,\quad 1 + \frac{1}{q} ,\quad 1+\frac{2}{q} ,\quad ... ,\quad 1 + \frac{p}{q} ,\quad ...\quad 2$ 呈等差级数(arithmetic progression)，以及后面这个序列的第一项和最后一项分别是(1.11.3)右边(对于 n = 0 和 n = 1)的值之倒数，他推断出

(1.11.7) $\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty}\left \{\frac{\sum_{i=0}^{\ell+1}{i^{p/q}}}{\sum_{i=0}^{\ell}\ell^{p/q}}\right \}=\frac{1}{1+\frac{p}{q}}$ (同上，第 390页)。

他毫不怀疑关系 (1.11.7) 对所有 p/q ≧ 0 都成立；他甚至说它对非比(irrational)指数也成立，例如 $\sqrt{3}$ (同上，第 395 页)，并且当他将幂的概念扩展到负幂时，他认为 (1.11.7) 对它们也成立——除了 -1 (同上，第 408 页 )。利用 (1.11.7)，当 p/q 为非 -1 的比率数(rational number)时，他现在能够确定曲线 $y = x^{p/q}$ 的面积与外接矩形的比值。他还可以确定这些面积绕轴旋转所得的体积与外接圆柱的比值。

在那之后，Wallis 继续研究以 x 为自变量的多项式；他将公式 (1.11.7) 应用于多项式 $(x^{p} (D^{n}-x^{n}))^{m}$ (当 p, n,和 m 均为小自然数且 D 为常量时)的二项式展开式，并通过类比推导出

(1.11.8)

$\displaystyle \frac{\int_{0}^{D}[x^{p}(D^{n}-x^{n})]^{m}}{D^{m(n+p)+1}}=\frac{n.2n....mn}{(mp+1)(mp+n+1)(mp+2n+1)....(mp+mn+2)}$

(同上，见第 419-420页和第 425-430 页)，他把这个结果列成了不同的表格。(为了清晰起见，我将他的最后一个和式表示为积分。) 他进一步扩展了(1.11.8)，加入了 f 和 n 为正比率数(rational numbers)的情况(同上，第 433 页)。

Wallis 的目的之一是化圆为方(square the circle)；他强调，从 (1.11.8) 及其推广，我们知道当 m = 0, 1, 2, 3 ...... 时，“ 和式(sums) ”

(1.11.9) $\displaystyle \frac{\int_{0}^{R}(R^{2}-x^{2} )^{m} dx}{R^{2m+1}}$ 和 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{D}(xD-x^{2} )^{m} dx}{D^{2m+1}}$ 的值，

以及对于 m = 1, 2, 3， ... ，“和式(sums)”

(1.11.10) $\displaystyle \frac{\int_{0}^{R}(R^{1/m}-x^{1/m} )^{m} dx}{R^{2}}$

的值，其中，R 是圆的半径，而 D 是圆的直径。他希望求得 $m=\frac{1}{2}$ 时这些 “和式”的值，并且他引入了符号 “□” 来表示 (1.11.10) 的倒数：

(1.11.11) $\displaystyle \square = \frac{1}{\int_{0}^{R}(R^{2}-x^{2} )^{1/2} dx}\bigg (=\frac{4}{\pi}\bigg )$ 。

通过插值原理(我们无法在此详述)(译注：以现有值为基础改动原有值)，他成功地建立了公式

(1.11.12) $\displaystyle \frac{1}{\int_{0}^{R}(R^{2}-x^{2} )^{(n/2)-1} dx} = a_{n}$ (对于 n = 1, 2, 3， ... )，

其中，

(1.11.13)

$\displaystyle \left \{ \begin {array}{lrc} a_{1}=\frac{\square}{2},a_{2}=1,a_{3}=\square,\\ \\ a_{n+2}=\frac{3.5.7....(n+1)}{2.4.6....n}(n=2,4,6,...) \\ \\ a_{n+2}=\frac{4.6.8....(n+1)}{3.5.7....n}(n=2,4,6,...)\square (n=3,5,7,...) \end{array} \right .$ 。

(参见 Prag 1929a，第 389-392 页以及 Whiteside 1961a，第 237-241 页)。根据事实

(1.11.14) $\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n}$ (对于 n = 1, 2, 3， ...) ,

他推断出比率 $a_{n+1}/a_{n}$ 是连续递减的(注：Wallis 很幸运，他的序列表现如此，对于定义序列 $\displaystyle a_{1}= k,\quad a_{2} = 1,\quad a_{2n+1} = \frac{2n}{2n-1} a_{2n-1}$ 和 $\displaystyle a_{2n+2} = \frac{2n+1}{2n} a_{2n}$ ，其通常不会有 $a_{n+1}/a_{n}$ 连续递减)，因此

(1.11.15) $\frac{n+2}{n+1} = \frac{a_{n+3}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+3}}{a_{n+2}} . \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} < \left (\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \right )^2 < \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} .\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < \frac{a_{n+2}}{a_{n}} = \frac{n+1}{n}$ ，

从而

(1.11.16) $\displaystyle \sqrt{\left (\frac{n+2}{n+1} \right )} < \frac{a_{n+3}}{a_{n+1}}<\sqrt{\left (\frac{n+1}{n}\right )}$ 。

根据公式 (1.11.13),他求得了对于奇数 n 的不等式

(1.11.17)

$\displaystyle \frac{3.3.5.5.7.7...(n-2).n.n}{2.4.4.6.6.8...(n-2)(n-1)(n+1)}\sqrt{\left ( \frac{n+2}{n+1} \right )}< \square<\\\\\\\\\ \frac{3.3.5.5.7.7...(n-2).n.n}{2.4.4.6.6.8...(n-2)(n-1)(n+1)}\sqrt{\left ( \frac{n+1}{n} \right )}$ 。

在极限表达式中，随着 n⟶∞ ，就得到了一个结果，现在称其为“Wallis 积”：

(1.11.18) $\displaystyle \frac{4}{\pi}=\square =\frac{3.3.5.5.7.7.9.9...}{2.4.4.6.6.8.8.10...}$ ( Wallis 著作，第 1 卷，第 469 页。 )

1.12 其它积分法(Other methods of integration)

在 Newton 和 Leibniz 之前使用的大多数积分方法都采用等距细分区间，并将待求面积或体积与已知面积或体积进行比较，正如我们在 Cavalieri 和 Wallis 的研究中看到的那样。然而，Fermat 有一种方法可以对面积进行绝对计算，即采用细分方法，这意味着待求和的无穷小矩形的面积呈等比级数，且商小于 1。我们可以通过他关于求积的论文《De aequationum》中的一个例子来说明这一点。这篇论文写于1658年左右，运用了他早在17世纪40年代就已形成的思想(参见 Mahoney 1973a, 第 243页及其后页)。

Fermat 考虑双曲线(hyperbola)

(1.12.1) $yx^{n} = k$ ( k 是一个常量，n = 2, 3 , 4 ,… )。

--------------------------------图 1.12.1-----------------------------------

为了方便起见，我用现代术语重现他的论点。他将 x 轴上 G 点的右边分成长度分别 $x_{1} - a$ ， $x_{2} - x_{1}$ ， $x_{3} - x_{2}$ ，，… 的区间 GH，HO，OM，… (a = AG)，使得

(1.12.2) $\displaystyle \frac{a}{x_{1}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{3}} = ...$ ，

从而

(1.12.3) $\displaystyle \frac{a}{x_{1}} = \frac{x_{1}-a}{x_{2}-x_{1}} = \frac{x_{2}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}} = ...$ 。

然后他考虑了外接矩形

(1.12.4) $\displaystyle \left \{ \begin{array}{lrc} R_{1}=b(x_{1}-a)(b=GE) \\ \\ R_{r}=y_{r-1}(x_{r}-x_{r-1})(r=2,3,....) \end{array} \right .$ 。

根据 (1.12.1)-(1.12.4)可推导出

(1.12.5) $\displaystyle \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{b(x_{1}-a)}{y_{1}(x_{2}-x_{1})}=\frac{{x_{1}}^{n-1}}{a^{n-1}}=\frac{x_{n-1}}{a}$ ，

(1.12.6) $\displaystyle \frac{R_{r}}{R_{r+1}}=\frac{y_{r-1}(x_{r}-x_{r-1})}{y_{r}(x_{r+1}-x_{r})}=\frac{{x_{r}}^{n}}{{x_{r-1}}^{n}}=\frac{{x_{1}}^{n}}{a^{n}x_{1}}=\frac{x_{n-1}}{a}$ ,

这意味着外接矩形呈等比级数，其商为 $a/x_{n-1}$ 。

为了确定其第一项为 α ，商为 u/v (u < v) 的等比级数的和 S ，Fermat 使用了下面的关系

(1.12.7) $\displaystyle \frac{v-u}{u} = \frac{\alpha}{S-\alpha}$ ( 等价于 $S = \alpha(1 - u/v)$ ) 。

因此，若用 S 表示矩形 $R_{r}$ 的和，我们有

1.12.8) $\displaystyle \frac{x_{n-1}-a}{a} = \frac{b(x_{1}-a)}{S-b(x_{1}-a)}$

或

(1.12.9) $\displaystyle \frac{x_{n-1}-a}{x_{1}-a} = \frac{ba}{S-b(x_{1}-a)}$ 。

然后，他将区间 $x_{1} - a$ ， $x_{2} - x_{1}$ ， $x_{3} - x_{2}$ ，，… 想象成足够小且几乎相等，然后他推导出 (1.12.9) 的左边按“相等(adequality)” 等于 n – 1 。进一步，随着区间越来越小，他推断出在 (1.12.9) 中的 $S- b(x_{1} - a)$ 可以设为等于由抛物线，直线 GH 以及 GE 所界定的区域的面积 σ 。从而

(1.12.10) $\displaystyle n - 1 = \frac{ba}{\sigma} = \frac{AG.GE}{\sigma}$ ，

因此，求面积(quadrature)完成。(注：Fermat 称他的方法为“对数法(logarithmic)”(《著作》，第1卷，第265页)。在他那个时代，“对数”一词被用来描述等比级数和等差级数之间的联系；因此，当时也使用“对数”来描述我们今天所说的“指数”。让我们用现代的术语来解释他的表达式和证明。若我们令 $a = \text{exp}(t_{0})$ , 令 $x_{r} = \text{exp}(t_0 + r\Delta t)$ ( r = 1, 2, 3, … )，则我们有一个相当于 (1.12.2) 的细分。不难通过计算证明

(1) $R_{r} = k \; \text{exp}[-(n - 1)( t_{0} + (r - 1)\Delta t)]( \text{exp}[\Delta t] - 1)$ 。

因此

(2) $S = \sum_{r=1}^{\infty}R_{r} = k \; \text{exp}[-(n - 1)t_{0}]( \text{exp}[\Delta t] - 1):(1 - \text{exp}[-(n - 1)\Delta t])$ ，

以及

(3) $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{S}= (k \; \text{exp}[-(n - 1)t_{0}]):( n - 1) = (a.b) :( n - 1)$ 。 ) 我们本可以通过取 (1.12.9) 式两边的极限(当 $x_{1}$ 趋近于 a 时)来得到 (1.12.10) 式，但他没有使用极限。他观察到，当 n = 1 时，他的方法不再适用，因为届时矩形 $R_{r}$ 将相等。

-------------------------------图 1.12.2-----------------------------------

巧妙地运用几何学的思考和静力学的论证，数学家们得到了许多与积分变换相对应的变换，这些变换可以用来寻找各种用求积和体积法解决的问题之间的联系。 Pascal 在1658年系统地编制了一系列表格，其中列出了确定面积和体积及其重心所需的求和式。他通过将体积 KCAB(见图1.12.2)设想为由矩形 $F\!DOO^{'} = F\!D.DO$ 和面积 EGF = ARI 组成，发现了这些联系的一个基本定理(Pascal，1658年，“Lemme generalel”，见“Traite des trilignes rectangulars”一节；Works1 第 9卷, 第 3-5 页)。即，

(1.12.11) $\displaystyle \sum_{AB}F\!D.D\!O = \sum_{AC}EGI^{'}$ 。

若我们置 AB = a ，AC = b， AD = x，FD = y = f(x) 和 DO = z = g(x)(二者皆为单调函数)，这个关系式对应

(1.12.12) $\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)g(x)dx = \int_{0}^{b}\left (\int_{0}^{f^{-1}(y)}g(t)dt \right )dy$ ，

这可以通过分部积分求得。因为 f (a) = 0 我们有：

(1.12.13) $\begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)g(x)dx &= \displaystyle -\int_{0}^{a}\left (\int_{0}^{x}g(t)dt \right )f^{'}(x)dx \\ \\ & = \int_{0}^{b}\left (\int_{0}^{f^{-1}(y)}g(t)dt \right )dy \end{array}$ ，

当 g(x) = x 时，我们求得

(1.12.14) $\displaystyle \int_{0}^{a}xydx = \int_{0}^{b}\frac{x^{2}}{2}dy$ 。

Roberval 在他的 << Traité >> 中求得了 (1.12.14) 的求和形式，其方法与 Pascal 的方法类似( $\text{Roberval}\enspace \text{Works}_{2}a$ ，第 271 页)，Fermat 也使用了它(<<著作>>，第 1 卷，第 272 页 )。此外，它还可以应用于确定面积 $\int_{0}^{a}ydx$ 的重心。令此点的 x 坐标为 ξ ；用现代数学符号来表述，这个论证如下(见图 1.12.3)。若我们考虑一根杠杆(lever)AC ，并令面积 $\int_{0}^{a}ydx$ 作用于杠杆臂 ξ 的一侧，在另一侧，令面积 $\int_{0}^{a}ydx$ 或 BDC 的所有矩形 yΔx 每一个都作用于臂 x 上，则就会达到平衡(equilibrium)。因此我们有

(1.12.15) $\xi \int_{0}^{a}ydx = \int_{0}^{a}xydx$ 。

因此，根据 (1.12.14) ，求得

(1.12.16) $\displaystyle \xi = \frac{\int_{0}^{b}\frac{x^{2}}{2}dy}{\int_{0}^{a}ydx}$ ，

这就给出了重心的 x 坐标。其重心的 y 坐标可以按类似的方式求得。

(1.12.16) 相当于关系式

(1.12.17) $\pi \int_{0}^{b}x^{2}dy= 2\pi \xi \int_{0}^{a}ydx$ ，

该定理指出，面积 BCD 绕轴 BD 旋转所得的体积(对比图 1.12.3 )等于面积与重心经过的距离的乘积。这是现称为“Pappus-Guldin 定理”的一个特例，该定理由 Paul Guldin 在《数学杂志》(Centrobaryca)(1635-1641a，第 2 卷，第147页)中提出，形式如下：“旋转量与旋转路径[即重心经过的圆的周长]的乘积等于旋转产生的量。” 该定理也收录于Pappus 文集第 7 卷，但可能是后来添加的(例如，参见Ver Eecke 1932a)。

1.13 结语(Concluding remarks)

1.5-1.8 节和 1.10-1.12 节中给出的例子，阐释了 1.1 节引言中关于 1630-1660 年间无穷小方法的特殊性的评论。就求积法而言，我们看到它们都自然地建立在面积是无穷小和的概念之上。然而，数学家们在处理由该概念引发的问题时，方法各不相同。不仅不同数学家的方法基于不同的思想，其中一些数学家还发展了不同的方法，每种方法都适用于解决特殊的求积问题。

一些解决切线或垂线问题的方法会形成固定的法则——其中最普遍的是 Hudde 确定代数曲线次切线的法则——而其他方法仅仅提出了一种程序。这些方法背后的思想差异很大。Descartes 运用了关于圆与曲线交点数量的论证；Fermat 运用了相似三角形和“等式”的概念；而 Roberval 的方法则建立在对瞬时速度的直观概念和速度平行四边形定律的基础上。特征三角形(边为 Δx ，Δy 和 Δs)在切线方法的推导中并没有明确发挥作用。尽管如此，例如 Pascal 就曾将其应用于和的变换(参见 2.3 节)；但直到 Leibniz，人们才充分认识到这个三角形的重要性。

因此，这一时期本身并没有带来任何适用于确定切线和求积的基本概念的认知。数学家们未能认识到他们各种方法中固有的普遍视角，一个重要原因可能是，他们在很大程度上用普通语言表达，没有任何特殊符号，因此很难阐明他们所处理的问题之间的联系。为了说明这一点，我们可以考虑上文概述的不同求积方法所取得的结果之一。这个结果可以用现代术语表示为

(1.13.1) $\displaystyle \int_{0}^{a}x^{n} dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}$ ，

其中 n 是不同于 -1 的自然数。然而，当时的数学家们无法如此简单地表达他们的结果；

他们不得不参考特殊抛物线下的面积。他们的术语并没有妨碍他们发现诸如抛物线的直线化与双曲线求积之间的联系，或者某些反正切问题与求积之间的关系；但这或许阻碍了他们更深入地理解这些联系的含义。

这些评论绝非贬义。数学史学家的任务并非用当今的数学标准来评价早期数学家的工作，也并非强调他们的概念与现代概念相比的不足。相反，数学史学家应该深入研究当时的思维方式，以便将数学思想在其历史背景中发展起来。简言之，在微积分发明之前的时期，数学家们为其发明开辟了道路。他们通过运用启发式方法，将几何学解析化，以及探索求解求积和正切问题的方法，做到了这一点。

内容来源：

<<From the Calculus to Set Theory, 1630-1910>>（An Introductory History），I.Grattan-Guinness 等。