Codeforces Round 1023 (Div.2)

比赛链接：CF1023

A. LRC and VIP

• 如果 $a$ 数组全部值都相同，则无法构造出满足条件的 $B$, $C$ 序列。
• 否则，将最大值放到 $C$ 序列中，其余元素放到 $B$ 序列中。

时间复杂度： $O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 105;
int n, a[N];void solve() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];int maxm = 0, minm = INT_MAX;for (int i = 1; i <= n; i++)maxm = max(maxm, a[i]), minm = min(minm, a[i]);if (maxm == minm) {cout << "NO\n";return;}cout << "YES\n";for (int i = 1; i <= n; i++) cout << (1 + (a[i] == maxm)) << " ";cout << "\n";
}int main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}

B. Apples in Boxes

Jerry 获胜条件：

• 当前最大值 $-1$ 后，剩余所有元素的最大值 $-$ 最小值 $>k$。
• 操作一次后，剩余所有元素数量的和为偶数。

剩余情况都是 Tom 获胜。

时间复杂度： $O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int N = 1e5 + 10;
int n, k, a[N];void solve() {cin >> n >> k;int maxm = 0, minm = LLONG_MAX, sum = 0, maxpos = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];sum += a[i];if (a[i] > maxm) maxm = a[i], maxpos = i;}a[maxpos]--;maxm = 0, minm = LLONG_MAX;for (int i = 1; i <= n; i++)maxm = max(maxm, a[i]), minm = min(minm, a[i]);if (maxm - minm > k || sum % 2 == 0) cout << "Jerry\n";else cout << "Tom\n";
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}

C. Maximum Subarray Sum

• 如果 $s_i$ 全为 1，无法进行操作，利用 $dp$ 找出最大连续子数组，并且判断是否等于 $k$。
• 如果存在 $s_i=0$，根据题目数据范围，只需要一个位置就可以让最大连续子数组的值等于 $k$。
  • 找到第一个 $s_i=0$ 的位置，算出这个位置前面的一段最大后缀 $suf$，跟这个位置往后的最大前缀 $pre$，这个位置的 $a_i$ 直接赋值为 $k-pre-suf$。
  • 第二个 $s_i=0$ 的位置，将 $a_i$ 赋值为 $-10^{18}$，其余位置不需要改变。

时间复杂度：$O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int N = 2e5 + 10;
int n, k, a[N], dp[N];
string s;void solve() {cin >> n >> k >> s;s = " " + s;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];int pos1 = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (s[i] == '0') {pos1 = i;break;}}if (pos1 == 0) {int maxm = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)dp[i] = max(dp[i - 1] + a[i], a[i]), maxm = max(maxm, dp[i]);if (maxm == k) {cout << "Yes\n";for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " ";cout << "\n";} else cout << "No\n";return;}int maxm = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = 0;for (int l = 1; l <= n; l++) {r = l;while (r <= n && s[r] != '0') {dp[r] = max(dp[r - 1] + a[r], a[r]);maxm = max(maxm, dp[r]);r++;}l = r;}if (maxm > k) {cout << "No\n";return;}int sum = 0, pre = 0, suf = 0;for (int i = pos1 - 1; i >= 1; i--) {sum += a[i];pre = max(pre, sum);}sum = suf = 0;int pos2 = 0, pos = pos1;for (int i = pos1 + 1; i <= n; i++) {sum += a[i];if (suf < sum) {pos = i;suf = sum;}if (s[i] == '0') {pos2 = i;break;}}a[pos1] = k - suf - pre;if (pos2) {for (int i = pos + 1; i <= n; i++) {if (s[i] == '0') a[i] = -1e18;}}cout << "Yes\n";for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " ";cout << "\n";
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}

D. Apple Tree Traversing

可以发现按照字典序排列的第一关键字是 $d$，也就是路径长度，所以只需要每一次在剩余森林的每一棵树中找出直径，并且存下这条直径的长度以及端点，最后按照字典序排列即可。

时间复杂度： $O(n\sqrt{n})$。

• 每一次找的直径一定会比前面的短，所以最多需要找 $\sqrt{n}$ 次直径。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 150005;
int n, pre[N], used[N], d[N], head[N], num = 0, tar;
struct edge { int to, nxt; } e[N << 1];
array<int, 3> ans[N];inline int read() {int x = 0, f = 1; char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar(); }while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();return x * f;
}void addEdge(int u, int v) { e[++num] = (edge){ v, head[u] }, head[u] = num; }void dfs(int u, int fa) {for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to;if (v == fa || used[v]) continue;d[v] = d[u] + 1, pre[v] = u;if (d[v] > d[tar] || (d[v] == d[tar] && tar < v)) tar = v;dfs(v, u);}
}void solve() {n = read();for (int i = 1; i <= n; i++) head[i] = used[i] = 0;num = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {int u = read(), v = read();addEdge(u, v), addEdge(v, u);}int m = 0;tar = 0;while (1) {int flag = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (!used[i]) { flag = i; break; }if (!flag) break;d[flag] = 1;tar = flag;dfs(tar, 0);int st = tar;d[tar] = 1;dfs(tar, 0);int ed = tar;for (int i = ed; i != st; i = pre[i]) used[i] = 1;used[st] = 1;ans[++m] = array<int, 3>({ d[ed], max(st, ed), min(st, ed) });}sort(ans + 1, ans + m + 1, greater<array<int, 3>>());for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d %d %d ", ans[i][0], ans[i][1], ans[i][2]);putchar('\n');
}int main() {// freopen("D.out", "w", stdout);int T = read();while (T--) solve();return 0;
}

E. Ain and Apple Tree

• 可以发现，当构造出来的树是一条链的时候答案最大，答案为 ${\sum }_{i=0}^{n-1}i\cdot (n-i-1)$。
  • 如果 $k>{\sum }_{i=0}^{n-1}i\cdot (n-i-1)+1$，则无解。
• 将一条链状的树的最深节点往上移到比其深度小 $x$ 的节点的地方时，最后答案会减小 $1+2+\dots +x-1=\frac{x(x-1)}{2}$。
• 我们可以将要构造的树初始化为链状，然后将最深节点依次上移，直到 $|{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}dep(lca(i,j))-k|<1$。

时间复杂度： $O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long long int n, k;void solve() {cin >> n >> k;int maxm = 0;for (int i = 0; i < n; i++) maxm += i * (n - i - 1);if (maxm < k - 1) {cout << "No\n";return;}k = maxm - k;vector<vector<int>> g(n + 1);int h = n - 1;for (int i = n - 1; i; i--)if (k >= i * (i - 1) / 2) {g[h - i].push_back(h);h--;k -= i * (i - 1) / 2;}for (int i = 0; i < h; i++) g[i].push_back(i + 1);cout << "Yes\n";for (int i = 0; i < n; i++) {for (int v : g[i]) cout << i + 1 << " " << v + 1 << "\n"; }
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}

F1. Cycling (Easy Version)

• 当 $a_{[x,y)}>=a_y+1$ 时，每次将 $y$ 前移一定不会使答案更劣，因为这种操作的花费为 $a_y+1$，其中 $1$ 是前移的花费。
• 如果 $a_y$ 要后移到位置 $z$，Leo 超越到位置 $x$ 的花费为 $cos{t}_{[z+1,n]}+(z-y)\cdot a_y+(z-y)+(z-x-1)$。

时间复杂度： $O(n^2)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int N = 5e3 + 10;
int n, a[N], dp[N];void solve() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], dp[i - 1] = LLONG_MAX;dp[n] = 0;for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {int p = i + 1;for (int j = i + 1; j <= n; j++)if (a[j] < a[p]) p = j;for (int j = p; j <= n; j++)dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 2 * (j - p) + (j - i) * a[p] + p - i - 1);}cout << dp[0] << "\n";
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);int T;cin >> T;while (T--) solve();return 0;
}

时间复杂度： $O(n^2)$