线代第二章矩阵第九、十节：初等变换、矩阵的标准形、阶梯形与行最简阶梯形、初等矩阵

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本节非常重要

初等变换

初等变换使用"→"，而不是"="

初等行变换

① 交换两行

② 非0数乘以某一行

③ 某一行的L倍加到另一行上去

初等列变换

列与行同理

矩阵的标准型

从左上角开始，一串1，其余地方全是0，这个就叫标准型

阶梯形与行最简阶梯形

阶梯型矩阵

1. 如有0行，0行在非0行的下面
2. 非0行的首非0元的左下方的元素 （若有的话） 全是0
   

要点：竖线只过一个数，横线可以跨多个数

行简化阶梯形

1. 必须是阶梯形
2. 非0行的首非0元是1
3. 非0行的首非0元的所在列其他元素是0
   

定理： 任何的矩阵A都可以经过初等变换，化成一个阶梯形

初等矩阵

定义

由单位E做一次初等变换（行、列）得到的矩阵就叫做初等矩阵

第一种：

第二种：

第三种：

第j行的L倍加到第i行上去
第i列的L倍加到第j行上去

性质

1. 初等矩阵的行列式不为0
   

2. 初等矩阵的转置矩阵仍是同类型初等矩阵
   
   

3. 初等矩阵均可逆，其逆矩阵也是同种类型的初等矩阵
   

初等矩阵和初等变换的联系

1. A做一次初等行变换，相当于用同种的初等矩阵去左乘A

2. A做一次初等列变换，相当于用同种的初等矩阵去右乘A

观看笔记来源： 《线性代数》教学视频 宋浩老师（2024年更新）