牛顿均差知识

牛顿均差

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牛顿均差公式

$$f(x)=\sum _{i=0}^n\left[f[x_0,\cdots ,x_i]\cdot \prod _{k=0}^{i-1}(x-x_k)\right]+f[x_0,\cdots ,x_n,x]\cdot \prod _{k=0}^n(x-x_k)$$

性质证明

均差（$\mathcal{D}ivided\mathcal{D}ifferences$）的定义为：
$$f[x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]-f[x_i,\dots ,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

性质1：均差与导数的关系

若函数 $f(x)$ 在包含节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$ 的区间内存在 $n$ 阶导数，则存在一点 $\xi$ 使得：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!},\xi \in \text{区间}(x_0,x_1,\dots ,x_n)$$

证明

通过牛顿插值多项式的误差项推导。已知 $n$ 次插值多项式 $N_n(x)$ 的误差为：
$$f(x)-N_n(x)=f[x_0,x_1,\dots ,x_n,x]\cdot \prod _{i=0}^n(x-x_i)$$
当 $x=x_{n+1}$ 时（$x_{n+1}$ 为区间内另一点）：
$$f(x_{n+1})-N_n(x_{n+1})=f[x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}]\cdot \prod _{i=0}^n(x_{n+1}-x_i)$$
根据罗尔定理，存在 $\xi$ 使得：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}]=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$$
特别地，当 $x_{n+1}\to x_n$ 时，均差退化为导数形式。

性质2：均差的对称性

均差的值与节点的排列顺序无关，即：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=f[x_{\pi (0)},x_{\pi (1)},\dots ,x_{\pi (n)}]$$
其中 $\pi$ 是任意排列函数。

证明

通过数学归纳法：

• 基础情况：

当 $n=1$ 时，$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$，显然对称。

• 归纳假设：

假设对于 $n=k$ 时成立。

• 归纳步骤：对于 $n=k+1$，利用均差递推公式：
  $$f[x_0,x_1,\dots ,x_{k+1}]=\frac{f[x_1,\dots ,x_{k+1}]-f[x_0,\dots ,x_k]}{x_{k+1}-x_0}$$
  根据归纳假设，分子中的两项均对称，因此整体对称。

性质3：均差的线性性

若 $f(x)=a\cdot g(x)+b\cdot h(x)$，则：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=a\cdot g[x_0,x_1,\dots ,x_n]+b\cdot h[x_0,x_1,\dots ,x_n]$$

证明

通过均差的定义直接推导：
$$\begin{array}{rl}f[x_0,x_1]& =\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\ & =\frac{a\cdot g(x_1)+b\cdot h(x_1)-a\cdot g(x_0)-b\cdot h(x_0)}{x_1-x_0}\\ & =a\cdot \frac{g(x_1)-g(x_0)}{x_1-x_0}+b\cdot \frac{h(x_1)-h(x_0)}{x_1-x_0}\\ & =a\cdot g[x_0,x_1]+b\cdot h[x_0,x_1]\end{array}$$
对高阶均差同理可证。
\end{proof}

性质4：均差与多项式的关系

若 $f(x)$ 是 $m$ 次多项式，则：

• 当 $n\le m$ 时，$n$ 阶均差 $f[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ 是 $m-n$ 次多项式；
• 当 $n>m$ 时，$n$ 阶均差 $f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=0$。

证明

通过导数性质：

• $m$ 次多项式的 $m$ 阶导数为常数，$m+1$ 阶导数为零。
• 根据均差与导数的关系：
  $$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}$$
  当 $n>m$ 时，$f^{(n)}(\xi )=0$，故均差为零。

性质5：均差的递推性质

均差满足递推公式：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\frac{f[x_1,\dots ,x_n]-f[x_0,\dots ,x_{n-1}]}{x_n-x_0}$$

证明
通过牛顿插值多项式的构造：

• $n$ 次插值多项式 $N_n(x)$ 可表示为：
  $$N_n(x)=N_{n-1}(x)+f[x_0,x_1,\dots ,x_n]\cdot \prod _{i=0}^{n-1}(x-x_i)$$
• 代入 $x=x_n$ 并整理，可得递推公式。

差分与位移算子

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例1

$$\Delta (f_k{g}_k)=f_k\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k$$

证明
$$\begin{array}{rl}\Delta (f_k{g}_k)& =f_{k+1}{g}_{k+1}-f_k{g}_k\\ & =f_{k+1}(g_{k+1}-g_k)+g_{k+1}(f_{k+1}-f_k)\\ & =f_{k+1}\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k\end{array}$$

例2

$$\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k\Delta g_k=f_n{g}_n-f_0{g}_0-\sum _{k=0}^{n-1}{g}_{k+1}\Delta f_k$$

这个是著名的阿贝尔变换

$$\sum _{k=m}^n{f}_k\Delta g_k=f_{n+1}{g}_{n+1}-f_m{g}_m-\sum _{k=m}^{n-1}{g}_{k+1}\Delta f_k$$

证明

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=m}^n{f}_k\Delta g_k& =\sum _{k=m}^n{f}_k{g}_{k+1}-\sum _{k=m}^n{f}_k{g}_k\\ & =\sum _{k=m}^n{f}_k{g}_{k+1}-\sum _{k=m+1}^{n+1}{f}_k{g}_k+f_{n+1}{g}_{n+1}-f_m{g}_m\\ & =f_{n+1}{g}_{n+1}-f_m{g}_m-\sum _{k=m}^{n-1}{g}_{k+1}(f_{k+1}-f_k))\\ & =f_{n+1}{g}_{n+1}-f_m{g}_m-\sum _{k=m}^{n-1}{g}_{k+1}\Delta f_k\end{array}$$

赋值：$m=0,n=n-1$即可得到：

$$\sum _{k=m}^n{f}_k\Delta g_k=f_{n+1}{g}_{n+1}-f_m{g}_m-\sum _{k=m}^{n-1}{g}_{k+1}\Delta f_k$$