高等数学第七章---微分方程（§7.1-§7.3微分方程概念、一阶微分方程、一阶微分线性方程）

§7.1 微分方程有关概念

例题

已知曲线 $y=f(x)$ 过点 $(1,2)$，且该曲线上任一点处的切线斜率为 $2x$，求该曲线方程。

解：

由已知条件可得：

• 曲线的导数关系：$y^{\prime }=2x$ (或 $\frac{dy}{dx}=2x$) $(1)$
• 曲线过点 $(1,2)$：当 $x=1$ 时，$y=2$ (或 $y{|}_{x=1}=2$) $(2)$

对式 $(1)$ 两边积分：
$$y=\int 2xdx=x^2+C(3)$$

把式 $(2)$ 代入式 $(3)$ 得：
$$2=1^2+C⟹C=1$$
所以曲线方程为：
$$y=x^2+1(4)$$

微分方程相关概念

1. 微分方程：含有未知函数 $y=f(x)$ 的导数（或微分）的方程。

   • 例如：
     • $y^{\prime }=2x$
     • $x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+y=0$
     • $2xydy-(x^2+2y^2)dx=0$

2. 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的各阶导数中最高阶数。

   • 例如：
     • $y^{\prime }=2x$ 和 $2xydy-(x^2+2y^2)dx=0$ 都是一阶微分方程。
     • $x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+y=0$ 和 $y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+y=0$ 都是二阶微分方程。

3. 微分方程的解：若函数 $y=\varphi (x)$（或 $y=f(x)$）代入微分方程后等式两边恒等，则该函数称为微分方程的解。

   • 例如：式 $(3)$ 和式 $(4)$ 都是微分方程 $(1)$ $y^{\prime }=2x$ 的解。

4. 通解和特解

   • 通解：如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数 $C$ 的个数等于微分方程的阶数，则该解称为通解。
     • 例如：式 $(3)$ $y=x^2+C$ 是微分方程 $(1)$ $y^{\prime }=2x$ 的通解。
   • 特解：通解中满足初始条件的解（即确定了任意常数后的解）称为特解。
     • 例如：式 $(4)$ $y=x^2+1$ 是微分方程 $(1)$ $y^{\prime }=2x$ 的特解。

5. 初始条件（或初值条件）：用以确定通解中任意常数的条件，通常形式为 $y{|}_{x=x_0}=y_0,y^{\prime }{|}_{x=x_0}=y_1,y^{\prime \prime }{|}_{x=x_0}=y_2$ 等。

   • 例如：例题中的 “当 $x=1$ 时 $y=2$”（或 $y{|}_{x=1}=2$）就是一个初始条件。

6. 初值问题

   • 一阶微分方程的初值问题：
     $$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y{|}_{x=x_0}=y_0\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}F(x,y,y^{\prime })=0\\ y{|}_{x=x_0}=y_0\end{array}$$
   • 二阶微分方程的初值问题：
     $$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })\\ y{|}_{x=x_0}=y_0,y^{\prime }{|}_{x=x_0}=y_1\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0\\ y{|}_{x=x_0}=y_0,y^{\prime }{|}_{x=x_0}=y_1\end{array}$$

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§7.2 一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为 $y^{\prime }=f(x,y)$ 或 $F(x,y,y^{\prime })=0$，其初始条件通常为 $y{|}_{x=x_0}=y_0$。

(一) 可分离变量型微分方程

1. 定义：形如 $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$ 或 $M_1(x)M_2(y)dx=N_1(x)N_2(y)dy$ 的方程。

2. 解法：

   1. 分离变量：将方程变形，使得等号一端只含 $y$ 和 $dy$，另一端只含 $x$ 和 $dx$。即 $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ (假设 $g(y)\ne 0$)。
   2. 两边积分：对变形后的方程两边分别求不定积分，即 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
   3. 求解：计算积分并整理，得到含有任意常数 $C$ 的通解，形式通常为 $G(y)=F(x)+C$ 或隐式解。

例 1

求解微分方程：
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$$

解：
这是可分离变量型方程。

• 分离变量：当 $y\ne 0$ 时，方程可化为：
  $$\frac{dy}{y}=-\frac{1}{x}dx$$
• 两边求不定积分：
  $$\int \frac{dy}{y}=\int -\frac{1}{x}dx$$
  $$\ln |y|=-\ln |x|+C_1$$
  进一步变形可得：
  $$\ln |y|+\ln |x|=C_1$$
  $$\ln |xy|=C_1$$
  $$|xy|=e^{C_1}$$
  令 $C=\pm e^{C_1}$，则 $C$ 为任意非零常数。此时 $xy=C$。
  另外，检验 $y=0$ 是否为解：将 $y=0$ 代入原方程，左边 $\frac{d(0)}{dx}=0$，右边 $-\frac{0}{x}=0$ (当 $x\ne 0$)。因此 $y=0$ 也是方程的解。
  这对应于 $C=0$ 的情况。
  故该方程的通解为：
  $$xy=C(C\text{为任意常数})$$

例 2

求解微分方程：
$$\frac{dy}{dx}=2xy$$

解：

• 分离变量：当 $y\ne 0$ 时，方程可化为：
  $$\frac{dy}{y}=2xdx$$
• 两边求不定积分：
  $$\int \frac{dy}{y}=\int 2xdx$$
  $$\ln |y|=x^2+C_1$$
  进一步变形可得：
  $$|y|=e^{x^2+C_1}=e^{C_1}{e}^{x^2}$$
  令 $C=\pm e^{C_1}$，则 $C$ 为任意非零常数。此时 $y=C{e}^{x^2}$。
  另外，检验 $y=0$ 是否为解：将 $y=0$ 代入原方程，左边 $\frac{d(0)}{dx}=0$，右边 $2x\cdot 0=0$。因此 $y=0$ 也是方程的解。
  这对应于 $C=0$ 的情况。
  所以原方程的通解为：
  $$y=C{e}^{x^2}(C\text{为任意常数})$$

(二) 齐次型微分方程

1. 定义：形如 $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的方程。

   • 例如：$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy-x^2}$，可以化为 $\frac{dy}{dx}=\frac{(y/x{)}^2}{(y/x)-1}$。

2. 解法：

   1. 令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=xu$。
   2. 两边对 $x$ 求导得 $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。
   3. 将 $y=xu$ 和 $\frac{dy}{dx}$ 代入原方程，得到关于 $u$ 和 $x$ 的新方程：$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$。
   4. 整理该方程为 $x\frac{du}{dx}=f(u)-u$，这是一个可分离变量的方程：$\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$ (假设 $f(u)-u\ne 0$)。
   5. 求解这个可分离变量方程得到含 $u,x,C$ 的关系。
   6. 最后将 $u=\frac{y}{x}$ 代回，即得原方程的通解。

例 1

求解微分方程：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy-x^2}$$

解：
当 $x\ne 0$ 时，方程右边分子分母同除以 $x^2$ (或 $x\cdot x$)：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(y/x{)}^2}{(y/x)-1}$$
这是一个齐次型方程。令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=xu$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。
代入原方程有：
$$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u-1}$$
移项可得：
$$x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u-1}-u=\frac{u^2-u(u-1)}{u-1}=\frac{u^2-u^2+u}{u-1}=\frac{u}{u-1}$$
这是一个可分离变量型微分方程。当 $u\ne 0$ 且 $u\ne 1$ 时，分离变量得：
$$\frac{u-1}{u}du=\frac{1}{x}dx$$
$$\left(1-\frac{1}{u}\right)du=\frac{1}{x}dx$$
两边积分得：
$$\int \left(1-\frac{1}{u}\right)du=\int \frac{1}{x}dx$$
$$u-\ln |u|=\ln |x|+C_1$$
$$u=\ln |u|+\ln |x|+C_1=\ln |xu|+C_1$$
取指数：
$$e^u=e^{\ln |xu|+C_1}=e^{\ln |xu|}{e}^{C_1}=|xu|e^{C_1}$$
令 $C=\pm e^{C_1}$ (C为非零常数)，则 $xu=C{e}^u$。
将 $u=\frac{y}{x}$ 代回：
$$x\cdot \frac{y}{x}=C{e}^{y/x}$$
$$y=C{e}^{y/x}$$
考虑 $u=0$ 的情况，即 $y/x=0⟹y=0$。代入原方程，$\frac{dy}{dx}=0$，右边 $\frac{0}{0-x^2}=0$ (当 $x\ne 0$)。所以 $y=0$ 是解。这可以由 $y=C{e}^{y/x}$ 中取 $C=0$ 得到。
因此，原方程的通解为：
$$y=C{e}^{y/x}(C\text{为任意常数})$$

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§7.3 一阶线性微分方程

(一) 定义与分类

1. 定义：形如 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的方程称为一阶线性微分方程。

   • 其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数。

2. 分类：

   • 一阶齐次线性微分方程：若 $Q(x)\equiv 0$，方程为 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$。
   • 一阶非齐次线性微分方程：若 $Q(x)\not\equiv 0$，方程为 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$。

(二) 解法

1. 一阶齐次线性微分方程的解法
   方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$ 是一个可分离变量的方程：
   $$\frac{dy}{y}=-P(x)dx(y\ne 0)$$
   两边积分：
   $$\int \frac{dy}{y}=-\int P(x)dx+C_1$$
   $$\ln |y|=-\int P(x)dx+C_1$$
   $$|y|=e^{-\int P(x)dx+C_1}=e^{C_1}{e}^{-\int P(x)dx}$$
   令 $C=\pm e^{C_1}$ ($C$ 为非零常数)。若 $y=0$，也满足方程。故 $C$ 可取任意常数。
   其通解为：
   $$y=C{e}^{-\int P(x)dx}(C\text{为任意常数})$$
   注：此公式可记为一阶齐次线性微分方程的通解公式。

2. 一阶非齐次线性微分方程的解法（常数变易法）
   对于方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$：
   比较其对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$ 的通解 $y=C{e}^{-\int P(x)dx}$。
   我们猜想非齐次方程的通解具有类似形式，将常数 $C$ 变为 $x$ 的函数 $C(x)$：
   $$y=C(x)e^{-\int P(x)dx}$$
   将其代入非齐次方程中确定 $C(x)$。首先求 $y^{\prime }$：
   $$\frac{dy}{dx}=C^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}+C(x)e^{-\int P(x)dx}(-P(x))$$
   代入 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$：
   $$\left[C^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}\right]+P(x)\left[C(x)e^{-\int P(x)dx}\right]=Q(x)$$
   整理得：
   $$C^{\prime }(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$
   $$C^{\prime }(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$$
   积分得到 $C(x)$：
   $$C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_0(C_0\text{为任意常数})$$
   所以，一阶非齐次线性微分方程的通解为：
   $$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_0\right)$$
   注：

   • (1) 上述求非齐次方程通解的方法称为常数变易法。
   • (2) 非齐次方程的通解结构：
     将非齐次方程的通解改写为：
     $$y=C_0{e}^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$$
     可以发现通解由两部分组成：
     • 第一部分 $C_0{e}^{-\int P(x)dx}$ 是对应齐次方程的通解。
     • 第二部分 $y^{\ast }=e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$ 是非齐次方程的一个特解（即 $C_0=0$ 时得到的解，可以代入原方程验证）。
       因此有如下重要结论：
       非齐次线性微分方程的通解 = 对应齐次线性微分方程的通解 + 非齐次线性微分方程的任一特解

例 1

求解微分方程：
$$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=(x+1{)}^{\frac{5}{2}}$$

解：
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中 $P(x)=-\frac{2}{x+1}$，$Q(x)=(x+1{)}^{\frac{5}{2}}$。

1. 求对应齐次方程的通解：
   齐次方程为 $\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=0$。
   $$y_h=C{e}^{-\int -\frac{2}{x+1}dx}=C{e}^{\int \frac{2}{x+1}dx}=C{e}^{2\ln |x+1|}=C{e}^{\ln (x+1{)}^2}=C(x+1{)}^2$$
   (通常在解题域内 $x+1>0$，故 $|x+1|=x+1$)

2. 用常数变易法求非齐次方程的通解：
   设非齐次方程的通解为 $y=C(x)(x+1{)}^2$。
   代入原方程，或者直接使用 $C^{\prime }(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$ 公式：
   $\int P(x)dx=\int -\frac{2}{x+1}dx=-2\ln |x+1|=\ln (x+1{)}^{-2}$。
   $e^{\int P(x)dx}=(x+1{)}^{-2}$。
   $$C^{\prime }(x)=(x+1{)}^{\frac{5}{2}}\cdot (x+1{)}^{-2}=(x+1{)}^{\frac{1}{2}}$$
   积分得：
   $$C(x)=\int (x+1{)}^{\frac{1}{2}}d(x+1)=\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C_0$$
   所以原方程的通解为：
   $$y=\left(\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+C_0\right)(x+1{)}^2$$
   $$y=\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{7}{2}}+C_0(x+1{)}^2(C_0\text{为任意常数})$$

例 2

求解微分方程：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}$$

解：
该方程不属于标准的一阶线性微分方程形式（关于 $y(x)$）。
但我们可以将其视为 $x$ 是 $y$ 的函数，即 $x=x(y)$。
$$\frac{dx}{dy}=x+y$$
整理得：
$$\frac{dx}{dy}-x=y$$
这是关于 $x(y)$ 的一阶非齐次线性微分方程，其中 $P(y)=-1$，$Q(y)=y$。
代入通解公式 $x=e^{-\int P(y)dy}\left(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C\right)$：
$$x=e^{-\int (-1)dy}\left(\int y{e}^{\int (-1)dy}dy+C\right)$$
$$x=e^{\int 1dy}\left(\int y{e}^{-\int 1dy}dy+C\right)$$
$$x=e^y\left(\int y{e}^{-y}dy+C\right)$$
计算积分 $\int y{e}^{-y}dy$，使用分部积分法： $\int udv=uv-\int vdu$。
令 $u=y,dv=e^{-y}dy$，则 $du=dy,v=-e^{-y}$。
$$\int y{e}^{-y}dy=y(-e^{-y})-\int (-e^{-y})dy=-y{e}^{-y}+\int e^{-y}dy=-y{e}^{-y}-e^{-y}$$
（不定积分的常数统一由 $C$ 表示）
所以：
$$x=e^y\left(-y{e}^{-y}-e^{-y}+C\right)$$
$$x=-y-1+C{e}^y(C\text{为任意常数})$$
此为方程的通解（隐式表达了 $y$ 关于 $x$ 的函数关系）。

例 3

设 $f(x)$ 具有连续一阶导数，且满足 $f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)dt+x^2$，求 $f(x)$ 的表达式。

解：
首先展开积分项：
$$f(x)=x^2{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt-{\int }_0^x{t}^2{f}^{\prime }(t)dt+x^2$$
由于 ${\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt=f(t){|}_0^x=f(x)-f(0)$，代入上式：
$$f(x)=x^2(f(x)-f(0))-{\int }_0^x{t}^2{f}^{\prime }(t)dt+x^2(\ast )$$
将 $x=0$ 代入原积分方程 $f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)dt+x^2$，得：
$f(0)={\int }_0^0(0^2-t^2)f^{\prime }(t)dt+0^2⟹f(0)=0$。

将 $f(0)=0$ 代入 $(\ast )$ 式：
$$f(x)=x^{2}f(x)-{\int }_0^x{t}^2{f}^{\prime }(t)dt+x^2$$
两边对 $x$ 求导（注意右边第一项是乘积的导数，第二项是变上限积分的导数）：
$$f^{\prime }(x)=[2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)]-[x^2{f}^{\prime }(x)]+2x$$
$$f^{\prime }(x)=2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)-x^2{f}^{\prime }(x)+2x$$
$$f^{\prime }(x)=2xf(x)+2x$$
整理为一阶线性微分方程：
$$f^{\prime }(x)-2xf(x)=2x$$
令 $y=f(x)$，则 $y^{\prime }-2xy=2x$。
这是 $P(x)=-2x,Q(x)=2x$ 的一阶线性非齐次微分方程。
通解为 $y=e^{-\int (-2x)dx}\left(\int 2x{e}^{\int (-2x)dx}dx+C\right)$
$$y=e^{\int 2xdx}\left(\int 2x{e}^{-\int 2xdx}dx+C\right)$$
$$y=e^{x^2}\left(\int 2x{e}^{-x^2}dx+C\right)$$
计算积分 $\int 2x{e}^{-x^2}dx$：令 $u=-x^2$，则 $du=-2xdx$。
$$\int 2x{e}^{-x^2}dx=\int e^u(-du)=-\int e^{u}du=-e^u=-e^{-x^2}$$
所以：
$$y=e^{x^2}(-e^{-x^2}+C)$$
$$f(x)=y=-1+C{e}^{x^2}$$
利用初始条件 $f(0)=0$：
$$0=-1+C{e}^0⟹0=-1+C⟹C=1$$
所以，$f(x)$ 的表达式为：
$$f(x)=e^{x^2}-1$$

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练习与答案

1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

   解：
   这是一个可分离变量的方程 (假设 $x\ne 0,y\ne 0$)。
   $$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$$
   两边积分：
   $$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$$
   $$\ln |y|=\ln |x|+C_1$$
   $$\ln |y|-\ln |x|=C_1$$
   $$\ln \left|\frac{y}{x}\right|=C_1$$
   $$\left|\frac{y}{x}\right|=e^{C_1}$$
   令 $C=\pm e^{C_1}$ (C 为任意非零常数)。
   $$\frac{y}{x}=C$$
   $$y=Cx$$
   当 $y=0$ 时，$\frac{dy}{dx}=0$，$\frac{y}{x}=0$，方程成立。此时对应 $C=0$。
   因此，通解为：
   $$\mathbf{y}=\mathbf{Cx}(C\text{为任意常数})$$

2. 求解微分方程 $xydx+(x^2+1)dy=0$

   解：
   这是一个可分离变量的方程。整理得 (假设 $y\ne 0,x^2+1\ne 0$ 后者恒成立)：
   $$(x^2+1)dy=-xydx$$
   $$\frac{dy}{y}=-\frac{x}{x^2+1}dx$$
   两边积分：
   $$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{x}{x^2+1}dx$$
   对于右边的积分，令 $u=x^2+1$，则 $du=2xdx$，所以 $xdx=\frac{1}{2}du$。
   $$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}du$$
   $$\ln |y|=-\frac{1}{2}\ln |u|+C_1$$
   $$\ln |y|=-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C_1(\text{因为 }{x}^2+1>0)$$
   $$\ln |y|=\ln (x^2+1{)}^{-1/2}+C_1$$
   $$\ln |y|=\ln \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C_1$$
   $$\ln |y|-\ln \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=C_1$$
   $$\ln \left|y\sqrt{x^2+1}\right|=C_1$$
   $$\left|y\sqrt{x^2+1}\right|=e^{C_1}$$
   令 $C=\pm e^{C_1}$ (C 为任意非零常数)。
   $$y\sqrt{x^2+1}=C$$
   当 $y=0$ 时，原方程 $0+(x^2+1)\cdot 0=0$ 成立。此时对应 $C=0$。
   因此，通解为：
   $$\mathbf{y}\sqrt{{\mathbf{x}}^2+1}=\mathbf{C}\text{或}\mathbf{y}=\frac{\mathbf{C}}{\sqrt{{\mathbf{x}}^2+1}}(C\text{为任意常数})$$

3. 求解微分方程 $2xydy-(x^2+2y^2)dx=0$

   解：
   整理方程 (假设 $x\ne 0,y\ne 0$)：
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+2y^2}{2xy}$$
   分子分母同除以 $x^2$：
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+2(y/x{)}^2}{2(y/x)}$$
   这是齐次型方程。令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=xu$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。
   代入方程：
   $$u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+2u^2}{2u}$$
   $$x\frac{du}{dx}=\frac{1+2u^2}{2u}-u=\frac{1+2u^2-2u^2}{2u}=\frac{1}{2u}$$
   分离变量：
   $$2udu=\frac{1}{x}dx$$
   两边积分：
   $$\int 2udu=\int \frac{1}{x}dx$$
   $$u^2=\ln |x|+C$$
   将 $u=\frac{y}{x}$ 代回：
   $${\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\ln |x|+C$$
   $${\mathbf{y}}^2={\mathbf{x}}^2(\ln |x|+\mathbf{C})(C\text{为任意常数})$$
   (需要注意 $x\ne 0$。如果 $x=0$，原方程为 $0=0$。如果 $y=0$ 且 $x\ne 0$，则 $-x^{2}dx=0⟹x=0$，矛盾，所以 $y=0$ 仅当 $x=0$ 时是原方程的一个平凡解，但不是 $y(x)$ 形式的解。)

4. 求解微分方程 $(x+1)\frac{dy}{dx}-ny=e^x(x+1{)}^{n+1}$ (其中 $n$ 为常数)

   解：
   假设 $x+1\ne 0$，将方程改写为标准的一阶线性微分方程形式：
   $$\frac{dy}{dx}-\frac{n}{x+1}y=e^x(x+1{)}^n$$
   这里 $P(x)=-\frac{n}{x+1}$，$Q(x)=e^x(x+1{)}^n$。
   先计算积分 $\int P(x)dx$：
   $$\int -\frac{n}{x+1}dx=-n\ln |x+1|=\ln |x+1{|}^{-n}$$
   通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$。
   $$e^{-\int P(x)dx}=e^{-(-n\ln |x+1|)}=e^{n\ln |x+1|}=e^{\ln |x+1{|}^n}=|x+1{|}^n$$
   $$e^{\int P(x)dx}=e^{-n\ln |x+1|}=e^{\ln |x+1{|}^{-n}}=|x+1{|}^{-n}$$
   为简化，我们通常在解的定义域内去掉绝对值，例如假设 $x+1>0$。
   则 $e^{-\int P(x)dx}=(x+1{)}^n$ 和 $e^{\int P(x)dx}=(x+1{)}^{-n}$。
   $$y=(x+1{)}^n\left(\int e^x(x+1{)}^n\cdot (x+1{)}^{-n}dx+C\right)$$
   $$y=(x+1{)}^n\left(\int e^x(x+1{)}^{n-n}dx+C\right)$$
   $$y=(x+1{)}^n\left(\int e^{x}dx+C\right)$$
   $$y=(x+1{)}^n(e^x+C_0)$$
   (使用 $C_0$ 以区别于原题目中的 $n$)
   所以，通解为：
   $$\mathbf{y}=(\mathbf{x}+1{)}^{\mathbf{n}}({\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}+\mathbf{C})(C\text{为任意常数})$$

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