arctanx 导数 泰勒展开式证明

你提供的推导内容非常清晰，条理分明。下面是对 $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$ 的总结与适当补充：

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✅ 结论

$$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$$

这是一个基本的导数公式，常用于微积分、解析几何以及工程建模中。

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🧠 三种推导方法汇总

方法一：隐函数求导法

• 设 $y=\arctan x\Rightarrow x=\tan y$

• 对两边求导，利用链式法则得到：

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

方法三：几何直观理解

• 从 $y=\arctan x\Rightarrow x=\tan y$ 出发，导数反过来就是倒数：

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

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📘 补充说明

1. 几何意义

• $\arctan x$ 表示从斜率 $x$ 到角度的映射，其导数衡量了斜率变化对角度变化的影响。
• 因为 $1+x^2\ge 1$，导数总是小于等于 1，函数增长越来越慢，体现出其渐近平缓的特性。

2. 常见应用

• 在积分中极为常见：

  $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$

• 用于计算某些不定积分、变换坐标系、概率密度函数等。

3. 与其他反三角函数对比

• $\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• KaTeX parse error: Undefined control sequence: \arccot at position 14: \frac{d}{dx} \̲a̲r̲c̲c̲o̲t̲ ̲x = -\frac{1}{1…

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✅ 总结一句话

$$\boxed{\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}}$$

这个导数公式源自基本三角恒等式，体现了反正切函数的单调、平滑增长特性，是数学与工程中不可或缺的工具。

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我们来分步骤说明 $\arctan (x)$ 的导数及其 泰勒展开式。

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一、$\arctan (x)$ 的导数

$$\frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}$$

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二、$\frac{1}{1+x^2}$ 的泰勒展开式

我们现在要对这个导数函数 $\frac{1}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 处进行泰勒展开。
我们来系统讲解 $(1+x{)}^{-1}$ 的导数与泰勒展开式：
我们把 $\frac{1}{1+x}$ 展开为幂级数：$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,|x|<1$$
上面是标准的几何级数形式。

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这是一个几何级数的变形：

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \i at position 34: … = \sum_{n=0}^{\̲i̲ ̲nfty} (-1)^n x^…

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三、结论：$\arctan (x)$ 的导数泰勒展开式为：

$$\frac{d}{dx}\arctan (x)=1-x^2+x^4-x^6+x^8-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n},|x|<1$$

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如果你有兴趣，也可以对这个展开式再积分，就会得到 $\arctan (x)$ 本身的泰勒展开式：

$$\arctan (x)=\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},|x|\le 1$$

如需展开到某一特定项、可视化、或数值逼近，欢迎继续问。