位运算【入门--＞精通】

什么是位运算

位运算（Bit Operation）：在计算机内部，数是以二进制的形式来进行存储。位运算就是直接对数的二进制进行计算操作，在程序中使用位运算进行操作，会大大提高程序的性能。

位运算的运算操作

一些重要的点

有效数字包括整数部分和小数部分

运算符

^ 异或 ：相同为0，相异为1
& 与 ：两个都为1时，结果为1，否则为0
| 或 ：两个都为0时，结果为0，否则为1

移位运算

<< ： 左移
在二进制表示下把数字同时向左移动，低位以0填充，高位越界后舍弃。
1<<n= 2^n
a<<1=a*2
>> ： 右移
a>>1=a/2

位运算判断奇偶

与1相与

• 为0则是偶数 a&1=0
• 为1则是奇数 a&1=1

位运算实现对p取余

（p为2^k）
a对p取余:a&(p-1)

统计二进制中1的个数

lowbit

lowbit(x): 返回x的最后一位1

• x=1010 lowbit(x)=10
• x=101000 lowbit(x)=1000
  原理： x&-x=x&(~x+1)
  ~x: 对x取反
  下面举例说明：

x=101010000
~x=010101111
~x+1=010110000
x&(~x+1)=000010000
统计二进制中1的个数

int count(int x)
{int ans=0;while(x){x=x&(x-1);ans++;}return ans;
}

原码反码补码

32位无符号整数 ：unsigned int
32位有符号整数 ：int
举例：x=1010

• 原码：0…01010
• 反码：1…10101
• 补码：1…10110(取反+1）

相关例题

题目来源：二进制中1的个数

模板没什么好说的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int lowbit(int x)
{return x&-x;
}
int main()
{int n,ans=0;cin>>n;while(n){n-=lowbit(n);ans++;}cout<<ans<<endl;return 0;} 

P2114 [NOI2014] 起床困难综合症

题目来源：P2114 [NOI2014] 起床困难综合症

题目描述

$21$ 世纪，许多人得了一种奇怪的病：起床困难综合症，其临床表现为：起床难，起床后精神不佳。作为一名青春阳光好少年，atm 一直坚持与起床困难综合症作斗争。通过研究相关文献，他找到了该病的发病原因：在深邃的太平洋海底中，出现了一条名为 drd 的巨龙，它掌握着睡眠之精髓，能随意延长大家的睡眠时间。正是由于 drd 的活动，起床困难综合症愈演愈烈，以惊人的速度在世界上传播。为了彻底消灭这种病，atm 决定前往海底，消灭这条恶龙。历经千辛万苦，atm 终于来到了 drd 所在的地方，准备与其展开艰苦卓绝的战斗。drd 有着十分特殊的技能，他的防御战线能够使用一定的运算来改变他受到的伤害。具体说来，drd 的防御战线由 $n$ 扇防御门组成。每扇防御门包括一个运算 $op$ 和一个参数 $t$，其中运算一定是 $\text{OR},\text{XOR},\text{AND}$ 中的一种，参数则一定为非负整数。如果还未通过防御门时攻击力为 $x$，则其通过这扇防御门后攻击力将变为 $xopt$。最终 drd 受到的伤害为对方初始攻击力 $x$ 依次经过所有 $n$ 扇防御门后转变得到的攻击力。

由于 atm 水平有限，他的初始攻击力只能为 $0$ 到 $m$ 之间的一个整数（即他的初始攻击力只能在 $0,1,\dots ,m$ 中任选，但在通过防御门之后的攻击力不受 $m$ 的限制）。为了节省体力，他希望通过选择合适的初始攻击力使得他的攻击能让 drd 受到最大的伤害，请你帮他计算一下，他的一次攻击最多能使 drd 受到多少伤害。

输入格式

输入文件的第 $1$ 行包含 $2$ 个整数，依次为 $n,m$，表示 drd 有 $n$ 扇防御门，atm 的初始攻击力为 $0$ 到 $m$ 之间的整数。

接下来 $n$ 行，依次表示每一扇防御门。每行包括一个字符串 $op$ 和一个非负整数 $t$，两者由一个空格隔开，且 $op$ 在前，$t$ 在后，$op$ 表示该防御门所对应的操作，$t$ 表示对应的参数。

输出格式

输出一行一个整数，表示 atm 的一次攻击最多使 drd 受到多少伤害。

输入 #1

3 10
AND 5
OR 6
XOR 7

输出 #1

1

说明/提示

【样例说明】

atm 可以选择的初始攻击力为 $0,1,\dots ,10$。

假设初始攻击力为 $4$，最终攻击力经过了如下计算

• $4\text{ AND }5=4$；
• $4\text{ OR }6=6$；
• $6\text{ XOR }7=1$。

类似的，我们可以计算出初始攻击力为 $1,3,5,7,9$ 时最终攻击力为 $0$，初始攻击力为 $0,2,4,6,8,10$ 时最终攻击力为 $1$，因此atm的一次攻击最多使drd受到的伤害值为 $1$。

【数据规模与约定】

• 特殊性质 $\mathrm{A}$：存在一扇防御门为 $\text{AND 0}$；
• 特殊性质 $\mathrm{B}$：所有防御门的操作均相同。

对于所有数据，保证 $2\le n\le 10^5$，$0\le m\le 10^9$，$0\le t\le 10^9$，且 $\mathrm{op}$ 一定为 $\text{AND},\text{OR},\text{XOR}$ 中的一种。
解题思路
这题是让我们选择一个不大于m的整数x0，进行给定的n次位运算，使结果mx最大。
也就是对于任意的k(0<=k<=30),ans的第k位填0还是填1使这个数最大，依次从高位到低位考虑x0的每一位填0还是填1.
填1的条件

• 1.已经填好的更高位构成的数值加上1<<k后不超过m
• 2.用每个参数的第k位参与位运算，若初值为1，则n次位运算后的结果为1，若初值为0，则n次位运算后的结果为0
  填0的情况
• 填1会超过m的范围
• 填1不如填0更优

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N=1e5+5;
pair<string,int>a[N];
int n,m;
int cal(int bit,int num)
{for(int i=0;i<n;i++){int bitv=(a[i].se>>bit)&1;if(a[i].fi=="AND")num=num&bitv;else if(a[i].fi=="OR")num=num|bitv;elsenum=num^bitv; 
}return num;} 
signed main()
{cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i].fi>>a[i].se;int mx=0,x=0;for(int i=30;~i;i--)//最大的数不超过2^30 {int ans0=cal(i,0);//当前位填0 int ans1=cal(i,1);//当前位填1 if(x+(1<<i)<=m&&ans1>ans0)//如果填1不超过m并且比填0大，就填1{x+=1<<i;mx+=ans1<<i; }elsemx+=ans0<<i;
}cout<<mx<<endl;return 0;} 

P10447 最短 Hamilton 路径

P10447 最短 Hamilton 路径

题目描述

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0\sim n-1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 $n$。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i-1$ 到 $j-1$ 的距离（记为 $a[i-1,j-1]$）。

对于任意的 $x,y,z$，数据保证 $a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z]\ge a[x,z]$。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

输入 #1

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出 #1

18

说明/提示

对于所有测试数据满足 $1\le n\le 20$，$0\le a[i,j]\le 10^7$
解题思路
。。。以后再补。。。