奇怪的公式

奇怪的公式

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在剑桥大学，瞥了一眼下面这个公式，我眩晕了，庆幸自己没学数学专业。
$$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$$

一天，剑桥大学教授哥德弗雷·哈代收到一封来自印度的信。写信人叫拉马努金，是一位26岁的普通会计，没受过高等教育，爱好数学，随信附上了他的研究成果：120个奇怪的公式。所有公式都没有推导过程，直接给出结果。比如上面这个公式，就是其中之一。

所有的正数相加，怎么会得出一个负数，而且还是一个负的分数呢？

哈代起初并没有太当回事，他将信丢到一边，没有理睬。这件事就这么过去了。可那些奇怪的公式折磨起哈代来了。正因为奇怪，他记住了一些，比如上面提到的那个。写信的人是疯子吗？显然不是，至少从书信中看不出这种迹象。他是开玩笑吗？不。一个印度小伙子和万里之外的大学教授开哪门子玩笑。这不是开玩笑，他是认真的。

如果那些公式成立呢？哈代想，那么，拉马努金毫无疑问是一位奇才。如果它们是杜撰的，拉马努金堪称诈骗大师。

仔细检查后，哈代发现这120个公式中，有些早已是著名的数学公式；有些只是猜想，如果能够证明它们成立，会对数学研究有很大的推动作用；还有一些他根本没见过，比如上面提到的所有正数相加等于负分数这个公式。

哈代给拉马努金回信，希望他能证明自己写下的公式。拉马努金回信拒绝了哈代的要求，他说他害怕被哈代笑话，况且即使是哈代，也无法跟上他的证明思路。

哈代再次去信，邀请拉马努金来英国，承诺给他提供展示天赋的机会。拉马努金又拒绝了。他说他信仰的宗教不允许教徒漂洋过海。

哈代说服剑桥大学为拉马努金提供奖学金，并再次向他发出邀请。拉马努金终于动摇了。一方面，他的父母转变观念，支持他去英国；另一方面，他信仰的女神娜玛吉利在梦中告诉他，不必理会反对出国的禁令。

拉马努金到英国后，哈代才知道他对于什么是推导毫无概念。他说他的公式皆是梦中所得。但哈代认定拉马努金不是一般人，而是数学史上最伟大的人物那种级别的天才。

在哈代的坚持下，随后5年，拉马努金待在剑桥大学，发表了20多篇论文，并成为英国皇家学会会员。

拉马努金生病，哈代前去探望，告诉他自己乘坐的出租车有一个无趣的车牌号——1729。

“无趣吗？”拉马努金说，“其实这个数字挺有意思的，它是可以用两种形式表示两个立方数之和的最小数字。”

“10的立方数与9的立方数之和，12的立方数和1的立方数之和。两种形式表示两个立方数之和，1729是最小值。”

“是娜玛吉利女神告诉你的吗？”哈代说。

两个人哈哈大笑。

回到前面提到的那个正数相加等于负分数的公式，据说其成立的前提是要求时空有26个维度。天啊，对我来说，理解一维、二维、三维是自然之事，理解四维有些勉强，理解五维就很难……哦，26维，打死我也想象不出来。

（摘自河南文艺出版社《献给爱伦·坡的玫瑰》一书）

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好的，我现在要尝试理解如何证明自然数的和$1+2+3+4+\dots$等于$-1/12$。首先，我们知道在常规的数学分析中，这个级数是发散的，也就是说它没有有限的求和结果。不过，我听说过这个结果在物理学的一些领域，比如弦理论或量子场论中有应用，尤其是通过解析延拓或者拉马努金求和法得到这个值。但具体怎么证明呢？我需要一步步来理清楚。

一、传统级数论的视角：级数发散

在经典数学中，级数 $S={\sum }_{n=1}^{\infty }n$ 是发散级数，其部分和 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 随 $n\to \infty$ 趋向无穷大。其发散性可通过以下判据严格证明：

1. 柯西收敛准则失效：对任意正整数 $N$，存在 $m>N$ 使得 $|S_m-S_N|>1$。
2. 比较判别法：因通项 $a_n=n$ 不趋于零，级数必然发散。

结论：在传统收敛定义下，$S$ 无有限和。

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二、解析延拓与黎曼ζ函数

1. ζ函数的原始定义

黎曼ζ函数最初定义为复平面上的级数：
$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}(\text{Re}(s)>1).$$
当 $s=-1$ 时，形式上对应 $1+2+3+\dots$，但此级数在 $\text{Re}(s)\le 1$ 时不收敛。

2. 解析延拓的原理

解析延拓是一种将函数的定义域扩展到更大区域的数学技术，要求延拓后的函数在原有区域内与原始定义一致，且在新区域中保持解析性（全纯性）。对$\zeta$函数而言，其延拓通过以下方式实现：

• 积分表示：利用$\Gamma$函数与$\zeta$函数的关系式：
  $$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx(\text{Re}(s)>1).$$
  该积分在更广区域收敛。
• 函数方程：通过对称关系将ζ函数延拓至整个复平面（除 $s=1$ 外）：
  $$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s).$$

3. 计算 $\zeta (-1)$

将 $s=-1$ 代入函数方程：
$$\zeta (-1)=2^{-1}{\pi }^{-2}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\Gamma (2)\zeta (2).$$
已知 $\Gamma (2)=1!=1$，$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$，且 $\sin (-\pi /2)=-1$，代入得：
$$\zeta (-1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\pi }^2}\cdot (-1)\cdot 1\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=-\frac{1}{12}.$$

数学意义：解析延拓后的 $\zeta (-1)$ 是广义数学对象的值，而非传统级数和。

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三、发散级数的广义求和法

1. 拉马努金求和法

拉马努金提出一种基于解析延拓的发散级数求和方法，核心思想是将级数与ζ函数关联。例如，对自然数级数：
$$\sum _{n=1}^{\infty }n\stackrel{\text{R}}{=}\zeta (-1)=-\frac{1}{12},$$
其中“$\stackrel{\text{R}}{=}$”表示拉马努金和。

2. 形式化代数推导

以下步骤展示一种启发式操作（非严格证明）：

• 定义辅助级数：
  $$\begin{array}{rl}{S}_1& =1-1+1-1+\dots \stackrel{\text{C}}{=}\frac{1}{2}(\text{切萨罗和}),\\ S_2& =1-2+3-4+\dots .\end{array}$$
• 计算 $S_2$：
  将 $S_2$ 与其平移后的级数相加：
  $$S_2+S_2=1-1+1-1+\cdots =S_1⟹S_2=\frac{1}{4}.$$
• 关联 $S$ 与 $S_2$：
  $$S-S_2=4S⟹S=-\frac{1}{12}.$$

注意：此推导依赖对发散级数的线性操作，需在特定求和法下才成立。

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四、物理应用与数学哲学

1. 卡西米尔效应

在量子场论中，两金属板间的真空能量计算涉及发散级数：
$$E\propto \sum _{n=1}^{\infty }n\Rightarrow E\propto -\frac{1}{12}.$$
实验观测结果与此相符，表明广义求和的物理有效性。

2. 弦理论

在弦的维度计算中，维数公式需保证共形对称性，结果依赖 $\zeta (-1)$ 的值。

3. 数学哲学

解析延拓与广义求和揭示：

• 数学对象的意义依赖其所在框架。
• “和”的定义可扩展，但需明确上下文。

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五、总结与公式

1. 传统级数和：${\sum }_{n=1}^{\infty }n$ 发散。
2. 解析延拓值：$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$。
3. 物理赋值：${\sum }_{n=1}^{\infty }n\stackrel{\text{reg}}{=}-\frac{1}{12}$（正则化结果）。

$$\boxed{-\frac{1}{12}}$$

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The statement that $1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$arises from advanced mathematical concepts beyond traditional summation. Here’s a concise explanation:

1. Traditional Perspective:
   In standard calculus, the series $1+2+3+\dots$ diverges to infinity. There is no finite sum under conventional definitions.

2. Riemann Zeta Function:
   The Riemann zeta function, $\zeta (s)$, is initially defined as ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ for $\text{Re}(s)>1$. Through analytic continuation, it can be extended to other values of $s$. For $s=-1$:
   $$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}.$$
   This value is assigned via the functional equation of the zeta function, not by summing the divergent series directly.

3. Summation Methods:
   Techniques like Ramanujan summation or zeta function regularization assign finite values to divergent series. These methods are not equivalent to classical convergence but are consistent within their frameworks. For example:

   • Manipulating divergent series (e.g., subtracting shifted versions) yields $-\frac{1}{12}$ as a formal result.
   • Such methods are used in theoretical physics (e.g., Casimir effect, string theory) to handle infinities.

4. Key Takeaway:
   The equality $1+2+3+\cdots =-\frac{1}{12}$ is context-dependent. It reflects a generalized interpretation of summation rather than literal convergence. In applications, this value helps extract meaningful results from otherwise divergent expressions.

Final Answer:
In the context of analytic continuation and specialized summation methods, the series is assigned the value $\boxed{-\frac{1}{12}}$. Traditional summation still diverges.