判断一个数是不是素数的最高效的算法

判断一个数是否是素数，有从简单到复杂多种方法。最高效的算法取决于输入规模（是几个亿以内的数，还是上百位的大整数），我会按实用场景分类讲解：

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✅ 常规范围内（比如 ≤ 1e12）判断素数的最高效方法

使用试除法优化版 + 6k±1 检查法：

import mathdef is_prime(n):if n <= 1:return Falseif n <= 3:return Trueif n % 2 == 0 or n % 3 == 0:return False# 只检查 6k±1 的数（跳过能被2或3整除的数）i = 5while i * i <= n:if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:return Falsei += 6return True

• 时间复杂度：O(√n)，比普通的 i += 1 快大约 3 倍以上。
• 在 64 位整数范围（最多约 1e18）内表现优良。

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⚡ 更高效但更复杂的方法：Miller-Rabin 素性测试（确定性/概率性）

适用于 更大的整数（如 64 位整数、甚至上百位）。

✅ Python 中的 Miller-Rabin 判断（64位内确定性版本）：

def is_prime_miller_rabin(n):if n < 2:return Falsefor p in [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37]:if n % p == 0:return n == pd = n - 1r = 0while d % 2 == 0:d //= 2r += 1def try_composite(a):x = pow(a, d, n)if x == 1 or x == n - 1:return Falsefor _ in range(r - 1):x = pow(x, 2, n)if x == n - 1:return Falsereturn True  # compositefor a in [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37]:if try_composite(a):return Falsereturn True

• 时间复杂度：O(k * log n)，其中 k 是轮数，pow() 是快速幂。
• 经过这些 a 值验证，对于 n < 2^64 是确定性的。

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🧠 总结：选择最优算法依据规模

数值范围	建议算法	是否确定性	Python 实现
≤ 10^12	6k±1 优化试除法	✅ 是	快速、简单
≤ 2^64	Miller-Rabin（特定基底）	✅ 是	快速、安全
任意大整数	Miller-Rabin（多轮）	⚠️ 概率性	可自定义轮数

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