C语言和Python在负数取余运算（%）上的差异

C语言和Python在负数取余运算（%）上的差异，源于它们对取模运算的数学定义和整数除法的舍入规则的不同选择。

取余运算的数学背景

在数学中，对于整数 a 和 b（b ≠ 0），取余运算 a % b 的结果应满足：
$$a=q\times b+r$$
其中：

• q 是商（a / b 的计算结果）
• r 是余数（a % b 的结果），且 |r| < |b|，r 的符号取决于语言的定义。

关键分歧点在于：

• 商 q 如何舍入（向零、向下、向上取整？）
• 余数 r 的符号（是否必须与被除数 a 同号？）

C语言的取余规则（向零截断）

C语言的标准（C99）规定：

• 整数除法 / 向零截断（truncate toward zero），即直接丢弃小数部分。
• 取余 % 的结果符号与被除数 a 相同。

当两个整数相除时，/ 运算符的结果是代数商，其小数部分被舍弃。118) 若商 a/b 是可表示的，则表达式 (a/b)*b + a%b 应等于 a；否则，a/b 和 a%b 的行为均为未定义。
脚注： 这通常称为 “向零截断”。

（虽未规定余数符号，明确要求 a = (a/b)*b + a%b，由实现定义。）

计算逻辑

$$q=trunc(a/b)(向零舍入)$$
$$r=a-q\times b$$

示例

• 7 / 3 = 2，7 % 3 = 1
  （正常情况，无争议）
• -7 / 3 = -2，-7 % 3 = -1
  （商向零截断为 -2，余数与被除数 -7 同号）
• 7 / -3 = -2，7 % -3 = 1
  （商向零截断为 -2，余数与被除数 7 同号）

Python的取余规则（向下取整）

Python的取余规则遵循数学上的模运算（Floor Modulo）：
整数除法 / 向下取整（floor division），即向负无穷方向舍入。

取余 % 的结果符号与除数 b 相同（保证 r ≥ 0）。

PEP 238：

// 运算符将明确用于执行向下取整除法。“floor division” 译为"向下取整除法"，准确表达向负无穷方向舍入的数学含义。
Python 3 Documentation:：

模运算符（%）的结果符号始终与第二个操作数相同（或为零），即明确余数符号与除数一致。

计算逻辑

$$q=\lfloor a/b\rfloor (向下取整)$$
$$r=a-q\times b$$

示例

• 7 // 3 = 2，7 % 3 = 1
  （正常情况，无争议）
• -7 // 3 = -3，-7 % 3 = 2
  （商向下取整为 -3，余数 2 与除数 3 同号）
• 7 // -3 = -3，7 % -3 = -2
  （商向下取整为 -3，余数 -2 与除数 -3 同号）

总结对比

语言	除法 / 舍入方向	取余 % 符号规则	数学保证
C	向零截断	与被除数 a 同号	(a/b)*b + a%b == a
Python	向下取整（负无穷）	与除数 b 同号	(a//b)*b + a%b == a

为什么会有这种差异？

C语言的设计初衷

• 追求硬件友好性：早期计算机的除法指令通常直接截断（向零舍入），因此C语言沿用这一行为。
• 效率优先：向零截断的除法运算速度更快。

Python的设计初衷

• 数学一致性：Python选择模运算的数学定义，确保 (a // b) * b + (a % b) == a 始终成立，且余数非负。
• 避免边界问题：在循环、哈希计算等场景中，非负余数更直观（如 array[index % length] 不会出现负索引）。