数论补充 之 前后缀分解问题

对于前缀分解问题，我愿把它分为几个大问题：[0,i] 或 [i,n-1] 或 [l,r],或 [0,i-1] 和 [i+1,n-1] 共同作用的问题

一般都是求解区间的和，乘积，GCD,LCM

[0,i-1] 和 [i+1,n-1] 共同作用

3334,数组的最大因子得分

3334,数组的最大因子得分

思路分析：对于这题，首先我们得知道 GCD(a,b,c)= GCD(GCD(a,b),c), LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)
知道了上面的那个性质之后，我们就应该想到可以使用前后缀分解来完成这个题目，我们 只要记录 nums[i] 前面和后面的各自的前缀和后缀的 GCD 和 LCM 这样我们移除 nums[i] 之后的 GCD和 LCM 就分别是 pregcd[0:i-1] ,sufgcd[i+1,n-1] 以及 prelcm[0:i-1] , suflcm[i+1,n-1]

class Solution:
    def maxScore(self, nums: List[int]) -> int:
        # 至多移除1个元素，那么总共会有n+1种可能也就是101种可能而已
        # 分别使用pregcd,prelcm,sufgcd,suflcm
        n = len(nums)
        # 注意这个区间的开长了，lcm(1,x)= x,gcd(0,x) = x
        pregcd ,prelcm, sufgcd,suflcm = [0]*(n+1),[0]*(n)+[1],[0]*(n+1),[0]*(n)+[1]
        # 先求解前缀的情况
        def lcm(a,b):
            return a*b // math.gcd(a,b)

        for i in range(n):
            pregcd[i] = math.gcd(nums[i],pregcd[i-1])
            prelcm[i] = lcm(nums[i],prelcm[i-1])
        for i in range(n-1,-1,-1):
            sufgcd[i] = math.gcd(sufgcd[i+1],nums[i])
            suflcm[i] = lcm(suflcm[i+1],nums[i])
        # 不移除元素
        ans = pregcd[n-1]*prelcm[n-1]
        # 枚举移除元素
        for i in range(n):
            # 精髓在这
            ans = max(ans,math.gcd(pregcd[i-1],sufgcd[i+1])*lcm(prelcm[i-1],suflcm[i+1]))
        return ans

238.除自身以外数组的乘积

238.除自身以外数组的乘积

思路分析：还是采用前后缀分解的思路

class Solution:
    def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        # 相同的思路，采用前后缀分解来完成
        # 关键点，我们会把数组开长一点，这样就不用单独处理，否则就得处理第一个元素
        n = len(nums)
        prec,sufc = [1]*(n+1),[1]*(n+1)
        for i in range(n):
            prec[i] = prec[i-1]*nums[i]
        for i in range(n-1,-1,-1):
            sufc[i] = sufc[i+1]*nums[i]
        ans = [1]*n
        for i in range(n):
            ans[i] = prec[i-1]*sufc[i+1]
        return ans