图（邻接矩阵和邻接表）

一 图的概念

在 C++ 中，图（Graph）是一种表示 “多对多” 关系的数据结构，由 顶点（Vertex）和边（Edge）组成。顶点代表数据元素，边代表顶点间的连接关系。

• 无向图：边没有方向（如社交网络中的好友关系），顶点 A 到 B 的边与 B 到 A 的边是同一根。
• 有向图：边有方向（如地图中的单向道路），顶点 A 到 B 的边与 B 到 A 的边是两根不同的边。
• 无权图：边没有权重（仅表示是否连通）。
• 带权图：边有权重（如地图中道路的距离）。

在 C++ 中，图的存储主要有两种方式，选择取决于图的稀疏程度（边的多少）。

1. 邻接矩阵（适合稠密图）

用二维数组matrix[v][w]表示顶点 v 到 w 是否有边：

• 无权图：matrix[v][w] = 1（有边）或0（无边）。
• 带权图：matrix[v][w]存储边的权重（无边可用0或∞表示）。

2. 邻接表（适合稀疏图）

用二维数组或数组加链表存储每个顶点的邻接顶点列表（带权图需存储权重）。每个顶点对应一个列表，列表中存储其直接连接的顶点。

二 邻接矩阵

1.邻接矩阵类的定义

//邻接矩阵类的定义
#define inf -1 //定义无效值class Graph {
private:int vertices; //顶点数量int** edges; //二维指针数组，用来存储边的信息public:Graph(int vertices); //构造函数，传入顶点个数~Graph(); //析构函数void addEdge(int u, int v, int w); //加边void printGraph(); //打印图的邻接矩阵
};

 首先定义无效值，表示两点之间没有边相连。邻接矩阵类包含成员属性：顶点数量和存储边信息的二维指针数组 以及 各个成员函数。

2.构造函数

//构造函数
Graph::Graph(int vertices) {this->vertices = vertices; //图有vertices个顶点edges = new int* [vertices]; //为二维指针数组（即邻接矩阵）分配内存for (int i = 0; i < vertices; ++i) {edges[i] = new int[vertices];for (int j = 0; j < vertices; ++j) {edges[i][j] = inf; //邻接矩阵每个元素初始值为inf（无效值）}}
}

 为二维指针数组分配vertices个顶点内存，通过循环为每个顶点分配vertices个内存。邻接矩阵每个元素初始化为inf（无效值）。

3.析构函数

//析构函数
Graph::~Graph() {for (int i = 0; i < vertices; ++i) { //释放邻接矩阵的内存delete[] edges[i];}delete[] edges;
}

通过循环释放邻接矩阵内存。

4.加边

//加边
void Graph::addEdge(int u, int v, int w) {//u表示边的起点，v表示边的终点，w表示边的权重edges[u][v] = w;
}

u表示边的起点，v表示边的终点，w表示边的权重。将w赋给邻接矩阵指定位置元素即可完成加边操作。

5.打印邻接矩阵

//打印图的邻接矩阵
void Graph::printGraph() { //打印邻接矩阵的元素值for (int i = 0; i < vertices; ++i) {for (int j = 0; j < vertices; ++j) {cout << edges[i][j] << " ";}cout << endl;}
}

通过两层循环打印邻接矩阵的元素值。

6.完整源码

#include<iostream>
using namespace std;//邻接矩阵类的定义
#define inf -1 //定义无效值class Graph {
private:int vertices; //顶点数量int** edges; //二维指针数组，用来存储边的信息public:Graph(int vertices); //构造函数，传入顶点个数~Graph(); //析构函数void addEdge(int u, int v, int w); //加边void printGraph(); //打印图的邻接矩阵
};//构造函数
Graph::Graph(int vertices) {this->vertices = vertices; //图有vertices个顶点edges = new int* [vertices]; //为二维指针数组（即邻接矩阵）分配内存for (int i = 0; i < vertices; ++i) {edges[i] = new int[vertices];for (int j = 0; j < vertices; ++j) {edges[i][j] = inf; //邻接矩阵每个元素初始值为inf（无效值）}}
}//析构函数
Graph::~Graph() {for (int i = 0; i < vertices; ++i) { //释放邻接矩阵的内存delete[] edges[i];}delete[] edges;
}//加边
void Graph::addEdge(int u, int v, int w) {//u表示边的起点，v表示边的终点，w表示边的权重edges[u][v] = w;
}//打印图的邻接矩阵
void Graph::printGraph() { //打印邻接矩阵的元素值for (int i = 0; i < vertices; ++i) {for (int j = 0; j < vertices; ++j) {cout << edges[i][j] << " ";}cout << endl;}
}

三 邻接表

1.邻接表类的定义

//邻接表类的定义
class Graph {
private:struct EdgeNode { //边结点结构体int vertex; //边指向的顶点int weight; //边的权重EdgeNode* next; //指向下一个边结点的指针};struct VertexNode { //顶点结构体int vertex; //顶点EdgeNode* fistEdge; //指向第一个边结点的指针};int vertices; //邻接表顶点个数VertexNode* nodes; //指针数组，存储所有顶点public:Graph(int vertices); //构造函数~Graph(); //析构函数void addEdge(int u, int v, int w); //加边void printGraph(); //打印邻接表
};

邻接表类中包含边结点结构体、顶点结构体、邻接表顶点个数、存储所有顶点的指针数组和各个成员函数。边结点结构体包含边指向的顶点编号、边的权重和指向下一个边结点的指针。顶点结构体包含顶点编号和指向第一个边结点的指针。

2.构造函数

//构造函数
Graph::Graph(int vertices) {this->vertices = vertices; //邻接表的顶点个数为传入值nodes = new VertexNode[vertices]; //为指针数组分配内存for (int i = 0; i < vertices; ++i) { nodes[i].vertex = i; //设置顶点编号nodes[i].fistEdge = nullptr; //由于还未加边，所以初始化指针指向空}
}

邻接表的顶点个数为传入值，为指针数组分配内存。通过循环设置每个顶点编号，由于还未加边，所以初始化指针指向空。

3.析构函数

//析构函数
Graph::~Graph() {//先逐个删除顶点的边结点链表for (int i = 0; i < vertices; ++i) { EdgeNode* curr = nodes[i].fistEdge;while (curr) {EdgeNode* temp = curr;curr = curr->next;delete temp;}}delete[] nodes; //最后释放数组内存
}

析构函数中先逐个删除顶点的边结点链表，最后释放数组内存。

4.加边

//加边
void Graph::addEdge(int u, int v, int w) {EdgeNode* newEdge = new EdgeNode; //创建一个新的边结点newEdge->vertex = v; //边指向vnewEdge->weight = w; //边权重为wnewEdge->next = nodes[u].fistEdge; //采用头插法将边加入到顶点u的边结点链表中nodes[u].fistEdge = newEdge;
}

首先创建一个新的边结点，接着让边指向顶点v，让边权重为w，然后采用头插法将边加入到顶点u的边结点链表中。

5.打印邻接表

//打印邻接表
void Graph::printGraph() {//遍历每个顶点，同时遍历每个顶点的邻接边链表for (int i = 0; i < vertices; ++i) {cout << "Vertex " << i << ": ";EdgeNode* curr = nodes[i].fistEdge;while (curr) {cout << curr->vertex << "(" << curr->weight << ") ";curr = curr->next;}cout << endl;}
}

遍历每个顶点，同时遍历每个顶点的邻接边链表。

6.完整源码

#include<iostream>
using namespace std;//邻接表类的定义
class Graph {
private:struct EdgeNode { //边结点结构体int vertex; //边指向的顶点int weight; //边的权重EdgeNode* next; //指向下一个边结点的指针};struct VertexNode { //顶点结构体int vertex; //顶点EdgeNode* fistEdge; //指向第一个边结点的指针};int vertices; //邻接表顶点个数VertexNode* nodes; //指针数组，存储所有顶点public:Graph(int vertices); //构造函数~Graph(); //析构函数void addEdge(int u, int v, int w); //加边void printGraph(); //打印邻接表
};//构造函数
Graph::Graph(int vertices) {this->vertices = vertices; //邻接表的顶点个数为传入值nodes = new VertexNode[vertices]; //为指针数组分配内存for (int i = 0; i < vertices; ++i) { nodes[i].vertex = i; //设置顶点编号nodes[i].fistEdge = nullptr; //由于还未加边，所以初始化指针指向空}
}//析构函数
Graph::~Graph() {//先逐个删除顶点的边结点链表for (int i = 0; i < vertices; ++i) { EdgeNode* curr = nodes[i].fistEdge;while (curr) {EdgeNode* temp = curr;curr = curr->next;delete temp;}}delete[] nodes; //最后释放数组内存
}//加边
void Graph::addEdge(int u, int v, int w) {EdgeNode* newEdge = new EdgeNode; //创建一个新的边结点newEdge->vertex = v; //边指向vnewEdge->weight = w; //边权重为wnewEdge->next = nodes[u].fistEdge; //采用头插法将边加入到顶点u的边结点链表中nodes[u].fistEdge = newEdge;
}//打印邻接表
void Graph::printGraph() {//遍历每个顶点，同时遍历每个顶点的邻接边链表for (int i = 0; i < vertices; ++i) {cout << "Vertex " << i << ": ";EdgeNode* curr = nodes[i].fistEdge;while (curr) {cout << curr->vertex << "(" << curr->weight << ") ";curr = curr->next;}cout << endl;}
}