数字信号处理|| 离散系统的冲激响应和阶跃响应
一、实验目的
（1）加深对离散线性移不变（LSI）系统基本理论的理解，明确差分方程与系统函数之间的关系。
（2）初步了解用MATLAB语言进行离散时间系统研究的基本方法。
（3）掌握求解离散时间系统冲激响应和阶跃响应程序的编写方法，了解常用子函数。
二、实验涉及的MATLAB子函数
（1）impz
功能：求解数字系统的冲激响应。
调用格式：
[h，t]＝impz（b，a）；求解数字系统的冲激响应h，取样点数为缺省值。
[h，t]＝impz（b，a，n）；求解数字系统的冲激响应h，取样点数由n确定。
impz（b，a）；在当前窗口用stem（t，h）函数出图。
（2）dstep
功能：求解数字系统的阶跃响应。
调用格式：
［h，t]＝dstep（b，a）；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数为缺省值。
［h，t]＝dstep（b，a，n）；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数由n确定。
dstep（b，a）；在当前窗口用stairs（t，h）函数出图。
（3）filter
功能：对数字系统的输入信号进行滤波处理。
调用格式：
y＝filter（b，a，x）；对于由矢量a、b定义的数字系统，当输入信号为x时，对x中的数据进行滤波，结果放于y中，长度取max（na，nb）。
［y，zf]＝filter（b，a，x）；除得到结果矢量y外，还得到x的最终状态矢量zf。y＝filter（b，a，x，zi）；可在zi中指定x的初始状态。
（4）filtic
功能：为filter函数选择初始条件。
调用格式：
z＝filtic（b，a，y，x）；求给定输入x和y时的初始状态。
z＝filtic（b，a，y）；求x＝0，给定输入y时的初始状态。
其中，矢量x和y分别表示过去的输入和输出：
x＝［x（－1），x（－2），…，x（－N）]
y＝［y（－1），y（－2），…，y（－N）]说明：以上子函数中的b和a，分别表示系统函数H（z）中由对应的分子项和分母项系数所构成的数组。如式（4-2）所示，H（z）按z－1（或z）的降幂排列。在列写b和a系数向量时，两个系数的长度必须相等，它们的同次幂系数排在同样的位置上，缺项的系数赋值为0。
在MATLAB信号处理工具箱中，许多用于多项式处理的函数，都采用以上的方法来处理分子项和分母项系数所构成的数组。在后面的实验中不再说明。
三、实验原理
（1）离散LSI系统的响应与激励
由离散时间系统的时域和频域分析方法可知，一个线性移不变离散系统可以用线性常系数差分方程表示：
也可以用系统函数来表示：
系统函数H（z）反映了系统响应与激励间的关系。一旦上式中的bm和ak的数据确定了，则系统的性质也就确定了。其中特别注意：a0必须进行归一化处理，即a0＝1。
对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位脉冲序列或单位阶跃序列，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号加于系统的零状态响应。因此，求解系统的冲激响应和阶跃响应尤为重要。由图4-1可以看出一个离散LSI系统响应与激励的关系。同时，图4-1显示了系统时域分析方法和z变换域分析法的关系。如果已知系统的冲激响应h（n），则对它进行z变换即可求得系统函数H（z）；反之，知道了系统函数H（z），对其进行z逆变换，即可求得系统的冲激响应h（n）。
（2）用impz和dstep子函数求解离散系统的单位冲激响应和阶跃响应
在MATLAB语言中，求解系统单位冲激响应和阶跃响应的最简单的方法是使用MATLAB提供的impz和dstep子函数。
下面举例说明使用impz和dstep子函数求解系统单位冲激响应和阶跃响应的方法。
四、实验任务
（1）认真阅读实验原理部分，明确本次实验目的，复习有关离散LSI系统的理论知识。
（2）读懂实验原理并编写例题程序，理解每一条语句的意义，了解用MATLAB进行离散时间系统冲激响应和阶跃响应求解的方法、步骤，熟悉MATLAB与本实验有关的子函数。
（3）列写已调试通过的实验任务程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。
五、实验程序及运行结果
（1）已知一个因果系统的差分方程为
6y（n）＋2y（n－2）＝x（n）＋3x（n－1）＋3x（n－2）＋x（n－3）
满足初始条件y（－1）＝0，x（－1）＝0，求系统的单位冲激响应和阶跃响应。
解 将y（n）项的系数a0进行归一化，得到
分析上式可知，这是一个3阶系统，列出其bm和ak系数：
MATLB程序如下（取N=32点作图）：
a = [1, 0, 1/3, 0]; % 滤波器的分母系数
b = [1/6, 1/2, 1/2, 1/6]; % 滤波器的分子系数
N = 32; % 定义冲激响应和阶跃响应的点数
n = 0:N-1; % 创建时间序列
% 求时域单位冲激响应
hn = impz（b, a, n）;
% 求时域单位阶跃响应
gn = dstep（b, a, n）;
% 使用subplot（1, 2, i）创建1行2列的子图布局，并在第i个子图中绘图
subplot（1, 2, 1）; stem（hn, 'filled'）; % 显示冲激响应曲线
title（'系统的单位冲激响应'）; % 设置标题
ylabel（'h（n）'）; % 设置y轴标签
xlabel（'n'）; % 设置x轴标签
axis（[0 N 1.1*min（hn） 1.1*max（hn）]）; % 限定显示范围
subplot（1, 2, 2）; stem（gn, 'filled'）; % 显示阶跃响应曲线
title（'系统的单位阶跃响应'）; % 设置标题
ylabel（'g（n）'）; % 设置y轴标签
xlabel（'n'）; % 设置x轴标签
axis（[0 N 1.1*min（gn） 1.1*max（gn）]）; % 限定显示范围运行结果：
（2）用filtic和filter子函数求解离散系统的单位冲激响应
MATLAB提供了两个子函数filtic和filter来求解离散系统的响应。当输入信号为单位冲激信号时，求得的响应即为系统的单位冲激响应；当输入信号为单位阶跃信号时，求得的响应即为系统的单位阶跃响应。
1）已知一个因果系统的差分方程为
6y（n）－2y（n－4）＝x（n）－3x（n－2）＋3x（n－4）－x（n－6）
满足初始条件y（－1）＝0，x（－1）＝0，求系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。时间轴上N取32点作图。
解： 将y（n）项的系数a0进行归一化，得到
分析上式可知，这是一个6阶系统，直接用MATLAB语言列出其bm和ak系数：
a＝［1，0，0，0，－1/3，0，0]；
b＝［1/6，0，－1/2，0，1/2，0，－1/6]；注意：原公式中存在着缺项，必须在相应的位置上补零。
MATLAB程序如下：
x01 = 0; % 初始条件
y01 = 0; % 初始条件
N = 32; % 采样点数
a = [1, 0, 0, 0, -1/3, 0, 0]; % 差分方程系数
b = [1/6, 0, -1/2, 0, 1/2, 0, -1/6]; % 差分方程系数% 求等效初始条件的输入序列
xi = filtic（b, a, x01, y01）;
% 建立N点的时间序列
n = 0:N-1;
% 建立输入单位冲激信号 x1（n）
x1 = （n == 0）;
% 对输入单位冲激信号进行滤波，求冲激响应
hn = filter（b, a, x1, xi）;
% 建立输入单位阶跃信号 x2（n）
x2 = （n >= 0）;
% 对输入单位阶跃信号进行滤波，求阶跃响应
gn = filter（b, a, x2, xi）;
% 显示系统单位冲激响应
subplot（1, 2, 1）;
stem（n, hn）;
title（'系统单位冲激响应'）;
% 显示系统单位阶跃响应
subplot（1, 2, 2）;
stem（n, gn）;
title（'系统单位阶跃响应'）;运行结果：
六、实验心得
在离散系统的冲激响应和阶跃响应实验中，我加深了对离散线性移不变（LSI）系统基本理论的理解，并初步掌握了使用MATLAB求解离散时间系统的冲激响应和阶跃响应的方法。使用impz和dstep函数进行系统响应分析的过程让我印象深刻。编写相应的MATLAB程序并观察系统响应曲线，让我对系统的动态行为有了了解。