每天五分钟机器学习：KTT条件

本文重点

在前面的课程中，我们学习了拉格朗日乘数法求解等式约束下函数极值，如果约束不是等式而是不等式呢？此时就需要KTT条件出手了，KTT条件是拉格朗日乘数法的推广。KTT条件不仅统一了等式约束与不等式约束的优化问题求解范式，KTT条件给出了这类问题取得极值的一阶必要条件。

了解

KKT条件的历史可追溯至1939年，当时卡鲁什在其硕士论文中首次完整阐述了带不等式约束优化问题的必要条件。这一成果在当时并未引起广泛关注，直至1951年库恩和塔克在非线性规划研究中重新发现并严格证明了该理论，才使其正式进入学术视野。这一命名争议本身折射出科学发现中"独立重复发明"的普遍现象，但更彰显了该理论跨越时空的学术价值。

随着计算机技术的发展，KKT条件的应用场景呈现指数级扩展。在20世纪80年代，该理论成为支持向量机（SVM）等统计学习方法的数学基础；进入21世纪后，在深度学习的参数优化、金融工程的投资组合优化、电力系统的经济调度等领域，KKT条件持续发挥着核心作用。这种理论与应用相互促进的发展轨迹，正是数学优化领域生命力的重要体现。

数学表达

KKT条件通过引入拉格朗日乘子μi≥0和