2025 SD省集总结

DAY1

上午是tsx模拟赛， 下午是树上问题选讲。

时间安排

• $7:40-8:00$：把题都看了一遍，$T1$ 是可做题，$T3$ 看起来是常规的计数题，应该可以拿到一定分数，$T2$ 很神秘。
• $8:00-10:15$：先开 $T1$。观察了一会儿发现答案不超过 $3$ 并且 $1$ 和 $-1$ 的情况是好判断的。因此只需要判断出是否为 $2$。然后画画图转化成了一个二维偏序问题，写了个树状数组就过了 $pretest$。
• $10:20-11:40$：接着做看起来更可做的 $T3$，推了一会儿发现不会处理已经选中的点和未选中的点之间的边，写了 $35pts$ 的暴力加性质跑路。
• $11:40-12:40$：去做 $T2$，猜了个结论写了一发，获得了 $34pts$。

最终得分：100 + 34 + 35 = 169
rk22

反思：本场节奏还是相对不错的，$T3$ 把点的编号放到后面钦定没有想到。一些计数的 $trick$ 还是应当多练。

题解

T1. 花卉港湾

给定 $n,K$ 和一个 $n$ 个点的树。 考虑构造一张 $n$ 个点的新图 $G$：若 $u,v$ 在树上的距离 $\ge K$， 那么 $G$ 中存在一条边 $(u,v)$。 $Q$ 次询问，每次问你在 $G$ 中两个点 $u,v$ 之间的最短距离，若不联通输出 $-1$。

$2\le K+1\le n\le 10^5,1\le Q\le 10^5$。

分析：
首先注意到答案不超过 $3$：
考虑树上的直径 $(x,y)$，若 $di{s}_{x,y}<K$ 则所有点都是孤立点。否则 $u,v$ 到树上某一点的最大距离一定取到直径的某一端点。如果有一个最大距离 $<K$，那么输出 $-1$。因此考虑两个最大距离都 $\ge K$ 的情况。发现最坏也存在 $u\to x\to y\to v$ 的路径，因此答案的上限为 $3$。

答案等于 $-1,1$ 是好判断，只需要判断答案是否为 $2$ 即可。答案等于 $2$ 等价于存在一个点 $p$ 满足 $di{s}_{u,p}\ge K$ 且 $di{s}_{v,p}\ge K$。首先判断 $p=x/y$ 的情况，如果不满足，那么 $p$ 一定取道 $x,y$ 在直径上的祖先 $a,b$ 的路径上的子树中，并且一定是不包含直径端点的子树中深度最大的点。列一列式子发现是一个三维偏序问题，但是注意到由于我们特判过了直径两端点因此有一维是没有用的， 所以就是二维偏序，树状数组维护即可。

T2. 礎石花冠

对于有向图 $G$，定义 $f(G)$ 为边树最少的图 $G^{\prime }$ 使得 $G$ 与 $G^{\prime }$ 的传递闭包相同：设 $w_{i,j}$ 表示图中 $i$ 能否到达 $j$。$\forall i,j\in V,w_{i,j}=w_{i,j}^{\prime }$。 也就是点数相同，可达性相同。

给定两个长度为 $n$ 的序列 { a i } \{a_i\} {ai​} 和 { b i } \{b_i\} {bi​}，保证序列中存在 $2n$ 个互不相同的数。用这两个序列造出一个 $n$ 个节点 $\frac{(n-1)n}{2}$ 条边的有向图 $G$，其中对于任意 $i<j$，若 $a_i<b_j$ 则存在 $i\to j$ 的有向边，否则存在 $j\to i$ 的有向边。

给定 $m$ 表示在这张图中删去 $m$ 条边，删除的第 $i$ 条边为 $(u_i,v_i)$ 之间的有向边。

你需要求出剩下这张图 $G^{\prime }$ 的 $f(G^{\prime })$。

$n\le 10^5，m\le 10^5$，保证 $|f(G^{\prime })|\le 4\times 10^5$。

分析：
还没订。

T3.磷磷开花

有一个长度为 $n$ 的序列 { a i } \{a_i\} {ai​}，最开始只有 $a_1=1$，其余都为 $0$。
需要进行 $\frac{n(n-1)}{2}$ 次操作，每次选择一个之前没有选择过的二元组 $(x,y)$($1\le x<y\le n$)，然后令 $a_x\leftarrow a_x|a_y,a_y\leftarrow a_x|a_y$。

同时给定一个长度为 $n$ 的数组 { b i } \{b_i\} {bi​} 表示在第 $b_i$ 次操作结束后，$a_i$ 一定要等于 $1$。

你需要求出在 $(\frac{n(n-1)}{2})!$ 种操作方案中，有多少个满足上述要求的操作方案。答案对 $998244353$ 取模。

$2\le n\le 13,1\le b_i\le \frac{n(n-1)}{2}$。

分析：
还没订。

DAY2

上午是tsx模拟赛，下午还是杂题选讲。

时间安排

• $7:40-8:10$ 看题，感觉除了 $T1$ 是签到外，$T2,T3$ 都不可做。
• $8:15-9:30$ 首先推出来了一个 $n^3$ 的 $dp$，但是很难优化。然后转变思路改为容斥，发现就很好优化了。先写了一个 $n^3$ 的交上去，获得 $60pts$。然后优化到了 $n^2\log n$，交上去直接过了。
• $9:30-11:20$ 尝试推 $T2$，但是想了很久也没有想到去掉一个限制后该怎么做。因此花了 $20$ 分钟写了个 $T3$ 的 $20pts$ 暴力。
• $11:20-12:00$ 想了想 $T3$，果然除了暴力没有任何头绪，于是又回到了 $T2$。拼尽全力，仍未战胜性质分，最后交了 $10pts$ 暴力上去。
• $12:00-12:30$ 罚坐。

最终得分：100 + 10 + 20 = 130
rk28

反思：T2 的线性基计数确实是考到知识盲区了。$T3$ 考到了单侧递归线段树也是我不会的东西。但是有大佬用分块过了，感觉分块的思路还是要学一学的，当你不会某道数据结构题时，分块或许能给你一个比较容易获得高部分分的做法。

题解

T1. MEX 求和

对于非负整数序列 { a i } \{a_i\} {ai​}，定义 $MEX(a)$ 为最小的不在 $a$ 中出现的非负整数。

给定长度为 $n$ 的非负整数序列 { b i } \{b_i\} {bi​}，求所有满足 $0\le a_i\le b_i(i=1,\dots ,n)$ 的非负整数序列 { a i } \{a_i\} {ai​} 的 $MEX(a)$ 之和。答案对 $10^9+7$ 取模。

$1\le n\le 5000$，$0\le b_i\le 10^9$。

分析：
若 $MEX(a)=x$，那么要求 $0\sim x-1$ 都在 $a$ 中出现过且 $x$ 没有出现过。套路的，我们把第二个限制去掉：我们计算 $an{s}_x$ 表示有多少序列的 $MEX\ge x$，那么只需要保证$0\sim x-1$ 都出现过即可。

考虑 $an{s}_x$ 怎么计算。由于需要满足所有限制，很容易想到容斥。我们钦定 $0\sim x-1$ 中若干数没出现过，其余任意。

需要考虑钦定的数字对每个位置上方案数的影响，因此我们将 $b_i$ 从小到大排序，在值域上从小到大钦定数字，同时依次计算每个位置的贡献。

设 $d{p}_{i,j}$ 表示考虑了 $0\sim i$，当前钦定了 $j$ 个数字不出现，并且已经计算了所有 $b_x\le i$ 的位置 $i$ 的贡献的方案数。那么转移就是是否钦定 $i+1$ 不出现，并且把所有 $b_x=i+1$ 的位置用 $i+1-j$ 的系数贡献到答案里。所有 $b_x>i+1$ 的数字此时的贡献是 $b_x-j$。

发现可以在 $dp$ 的过程中求出所有 $an{s}_x$ ，只需要预处理后缀积。复杂度 $O(n^2)$。

T2.最大异或和

给定 $N,M,X$，以及 $K$ 个正整数 $b_1,b_2,\dots ,b_K$，求有多少个长为 $M$ 的整数序列 { a i } \{a_i\} {ai​}，满足：

• $0\le a_i<2^N$。
• 存在一个子序列 $a_{i_1},a_{i_2},\dots ,a_{i_k}(1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le M)$，使得 $a_{i_1}\oplus a_{i_2}\cdots \oplus a_{i_k}\ge X$。
• 对于每个 $j=1,\dots ,K$，存在一个子序列 $a_{i_1},\dots a_{i_k}$，使得 $a_{i_1}\oplus a_{i_2}\cdots \oplus a_{i_k}=b_j$。

其中 $\oplus$ 表示异或。答案对 $10^9+7$ 取模。

$1\le N\le 5000$，$1\le M\le 10^9$，$0\le K\le 10^3$， $0\le X<2^N$， $1\le b_i<2^N$。

分析：
没听懂。但是学了一个弱化版的题：
P10707 永恒
有空订一下。

T3.前缀最值

给定一个长度为 $n$ 的序列 { a i } \{a_i\} {ai​}。另有一序列 $b_1,\dots ,b_n$，初始时 $b_i=\underset{1\le j\le i}{\max }{a}_j$。
接下来进行 $m$ 次操作，每个操作为以下两种之一：

• 1 l r x：对每个 $l\le i\le r$，令 $a_i\leftarrow a_i+x$；再对每个 $1\le i\le n$，令 $b_i\leftarrow \min (b_i,\underset{1\le j\le i}{\max }{a}_j)$。
• 2 k：询问 $b_k$。

强制在线。

$1\le n,m\le 5\times 10^5$，$|x|\le 10^8$，保证任意时刻 $|a_i|\le 10^8$。

分析：
还没订。
目前会了 离线 做法和 在线分块 做法。正解是单侧递归线段树。
可以先把在线分块做法订正了，然后做一些单侧递归线段树的题。

DAY3

上午是jsy模拟赛，下午是线性规划和网络流选讲。

时间安排

• $7:40-8:10$ 看题，$T1$ 看起来很可做啊。$T2$ 交互直接过。$T3$ 是维护匹配问题，感觉很困难。打算先做 $T1$ 然后去拿 $T3$ 部分分。
• $8:10-11:00$ 破大防，两个小时推不出来任何可以优化的做法。后面突然想到了可以枚举入度为 $0$ 的点，然后好像得到了一个可以线段树维护的单 $log$ 做法。写了一发暴力，发现结论对了。
• $11:00-12:30$：本来以为改成正解会比较容易，结果发现细节巨多。并且线段树需要支持的操作也很奇怪。又花了将近 $30min$ 才胡出来线段树操作怎么维护。到比赛结束也没有写完。

最终得分：25 + 0 + 0 = 15
rk71

反思：推性质的能力还是不行。并且心态不稳定，如果没办法顺利做出来 $T1$ 心态就会很崩，很大影响到后面题的得分。一定要切记 $60+45>100$ 的道理啊！

题解

T1.重建: 地下铁道

给定一个 $n$ 的点的简单环，其中 $i$ 号点与 $imodn+1$ 之间的边长为 $l_i$。

你需要给每条边定向。有 $m$ 个任务，第 $i$ 个任务是从 $s_i$ 移动 $t_i$。每个任务有一个权重系数 $w_i$，如果这次移动的距离为 $d_i$，那么花费的时间就是 $d_i\times w_i$。

你需要求出最优的定向策略，使得所有任务花费的总时间最小。输出最少的总时间。

$2\le n\le 5\times 10^5,1\le m\le 5\times 10^5,1\le l_i,w_i\le 10^3,s_i\ne t_i$。

分析：
推性质的好题。
考场上推出的线段树做法会被卡常。正解只需要排序不需要任何数据结构，可以做到线性。

首先将定向后经过边 $(1,n)$ 的路径 $(s_i,t_i)$ 称作 外部路径，不经过的称作 内部路径。
首先有性质：

• 将路径分为 $s_i<t_i$ 和 $s_i>t_i$ 两类。那么一定有一类全部为内部路径。
  证明：反证法即可。

不妨认为 $s_i<t_i$ 全部是内部路径，对于另一种情况只需要将所有点和路径 $reverse$ 一下即可。那么此时就可以将 $s_i<t_i$ 的路径上所有边定向。并且由于某些边的定向，会导致一些 $s_i>t_i$ 的路径被确定为外部路径，那么它们又会将一些边给定向。迭代的将所有被确定的外部路径上的边定向，此时会剩下一些还未被确定的 $s_i>t_i$ 的路径。

现在有两个问题：如何迭代的统计所有被确定的外部路径的答案，剩下的 $s_i>t_i$ 的路径以什么策略移动。

先来看第二个问题：我们肯定是希望将这些路径分成两类，一类从外部移动，一类从内部移动。并且需要保证这两类路径不会矛盾。

有重要性质：

• 将这些路径按照 $|s_i-t_i|$从小到大排序，能从内部移动的路径一定是一个前缀。
  证明：每次将一个 $s_i>t_i$ 的路径确定为外部路径，那么最多只会剩下 $|s_i-t_i|$ 条边未被定向，也就是说所有 $|s_j-t_j|>|s_i-t_i|$ 的路径 $j$ 都会被确定为外部路径。如果没有两条路径起点终点相同，那么 $>$ 就可以变成 $\ge$，也就是只可能剩下 $|s_j-t_j|$ 严格小于 $|s_i-t_i|$ 的路径。将被确定的路径再次用来确定别的路径，迭代下去一定会剩下所有 $|s_j-t_j|\le x$ 的路径，这是一段前缀。

那么只需要开始时将路径去重，然后维护前缀区间并和后缀区间交即可 $O(1)$ 判断划分是否合法。这一部分的复杂度瓶颈在于对区间排序。

接着看第一个问题：
发现完全可以沿用上面的思路解决：
还是将 $s_i>t_i$ 的路径按照 $|s_i-t_i|$ 从小到大排序。首先将 $s_i<t_i$路径定向的边直接影响到的排名最小 $s_i>t_i$ 路径求出，记它的排名为 $p$。那么迭代最后剩下的路径一定是 $[1,p-1]$ 的一个前缀，此时已经不需要考虑 $s_i<t_i$ 路径的影响了。同样的维护前缀并和后缀交，然后$O(n)$ 扫一遍就可以求出迭代后剩下的路径了。

总复杂度 $O(n\log n)$。

T2.走过安眠地的花丛

构造一个 $n$ 个点有边权的 $DAG$，使得所有 $1\to n$ 的路径的长度均在一个给定的列表 $a_1,a_2,\dots ,a_k$ 中，并且所有列表中的数字均可以表示成某条路径的长度。

你需要保证： $\forall 1\le i<j\le n$， $i,j$ 之间最多只能有 $1$ 条边，并且边的边权在 $[0,2000]$ 之间。

要求 $n$ 尽量小。

$1\le k\le 2000,1\le a_1<a_2<\cdots <a_k\le 2000$。

当你构造的 $n\le 53$ 时，可以获得满分。

分析：
关键要想到

T3.昔在、今在、永在的题目

维护一个长度为 $n$，值域为 $[1,m]$ 的序列 $a$。$q$ 次修改，支持单点修改，每次修改后查询如果在 $i<j$， $a_j=a_{i}modm+1$ 的点对之间连边后的最大匹配数量。

$1\le n,m,q\le 3\times 10^5$。

分析：
正解是线段树维护矩乘，还没有学会。

DAY4

上午是jsy模拟赛，下午是数据结构选讲

时间安排

• $7:40-8:10$ 看题，感觉 $T1$ 很可做，$T2$ 很神秘， $T3$ 比较有感觉。
• $8:10-9:00$ 开 $T1$，考虑容斥，在纸上画画图发现限制的形态是一条链，然后一段内的贡献系数是 $2$，因此可以直接得到一个 $O(m^2)$ 的做法。写了一下获得 $80pts$。感觉剩下 $20pts$ 比较困难就先过了。
• $9:00-9:20$ 稍微思考了一下 $T2$，感觉想不到任何一个合理的做法，就跳过看 $T3$ 了。
• $9:20-10:00$ 首先将 $T3$ 的题意转化成将所有矩形分成三类，每一类中都有交的方案数。然后暴力 $dp$ 是需要需要记录三类矩形此时的交，复杂度来到了惊人的 $O(n^7)$。观察到交的形态是一个矩形，尝试思考点减边容斥。发现还是需要枚举三个点，复杂度没有变化。无奈先扔掉了。
• $10:00-11:30$ 想 $T2$，但是好像什么都不会。看到了性质分，很有启发，猜了个结论写了一发，发现喜提 $0pts$。调了一会儿也造不出反例。写了个暴搜交上去得了 $5pts$。然后开始对拍。
• $11:30-12:00$ 拍出来了一组，观察后发现结论假了，斗志全无于是去开 $T3$。
• $12:00-12:30$ 仍然没啥低复杂度的做法，写了暴力交上去，得了 $15pts$。

最终得分： 80 + 5 + 15 = 100
rk26

反思：$T2$ 好像所有人写的都是乱搞，并且有很多听起来很荔浦的乱搞都获得了 $50\sim 60pts$，后悔自己为啥不写个乱搞上去。 $T3$ 的正解就是点减边容斥，但是需要观察出一个关键性质。应该先去考虑部分分比较好。遇到乱搞题要敢于乱搞，题目没思路时要考虑部分分！。

题解

T1.崩坏世界的歌姬

正解科技，不会。

T2.色彩褪去之后

正解双极定向，等练过这类题后再订吧。

T3.每个人的结局

会了，但是还没订。

DAY5

上午是zzk模拟赛，下午是动态规划选讲

时间安排

• $7:40-8:20$ 开题，三道题看着都比较常规。$T1$ 看起来很套路啊。 $T2$ 求期望感觉也比较可做。$T3$ 有点，没感觉。
• $8:20-12:10$ 最唐的一集。。。一直想不到 $T1$ 该怎么压状态，尝试了好几种想法，发现每次都是假的。尝试容斥发现问题根本没有任何转化。感觉暴力没什么分就硬着头皮想。终于想到了一个感觉起来状态数很少的思路。写了一发发现状态数就是很少。交上去，嗯？为啥我只有 $65pts$ 并且WA的全都是前面的点？？然后发现当 $n=1$ 的时候需要特判，改过后就过了。
• $12:10-12:40$ 写了 $T3$ 的暴力， $T2$ 没找到什么好写的分。最后由于评测队列太卡导致挂了。

得分：100 + 0 + 0 = 100
rk38

反思：$T1$ 的思路想出来后回过头看就觉得很自然了，感觉考试确实犯唐。$T2$ 只需要一步 $trick$：遇到最小值期望可以将贡献拆开。 就可以很简单获得四十多分，感觉没开确实很亏。$T3$ 属于根号分治优化 $dp$ 转移，感觉之前没咋见过，也算是开眼了吧。

题解

T1.互质序列

考试过了。

T2.树的搜索

会了，还没写。

T3.卡牌游戏

会了，还没订。

DAY6

上午是zzk模拟赛，下午是杂题选讲。

时间安排

• $7:40-8:20$ 看题。$T1$ 是神秘构造， $T2$ 很有感觉，$T3$ 感觉很困难。
• $8:20-9:00$ 开 $T1$，很容易想到一个二进制倍增的构造。只需要每次多用 $3$ 个格子就可以让最大值 $\times 2$。算了一下上界，发现两个限制都会超。好像没有分。然后就开始画一些其他的小结构。
• $9:00-10:20$ 在草稿纸上尝试了 $inf$ 个底数，发现他们无一列外都会超第一个上界。看起来好像 $3$ 进制是最优的，但是算了一下也没啥分。比较南崩就先跳了。
• $10：20-10：40$ 做 $T2$，猜了一个结论：如果保留下来的位置定了，那么最优匹配策略是定的。感觉很对啊，写了一手，喜提 $0pts$。后面造了个反例把自己卡了。破防了。看了一下自己会的分，好像只有 $20pts$ 吧，等会儿回来写把。
• $10:40-12:20$ 又想了想 $T1$，仍然不会正解。打算先写个暴力。于是花了 $40min$ 写了个高精度加减法和构造的函数。册杨里，发现有个数据 $RE$ 了。然后就一直静态差错，发现了非常荔浦的问题，只要调用 $sort$ 高精度数的 $len$ 就会出现神秘的大小。一直看不出来哪错了，一气之下把 $sort$ 改成了手写冒泡排序，不 $RE$ 了，赶紧交上去了。
• $12:20-12:40$ 写了 $T3$ 的 $28pts$ 暴力。

最终得分：0 + 0 + 28 = 28
rk76，最招笑的一集。

反思：$T1$ 的最优策略是将底数转成 斐波那契进制，只需要每次往下画 $2\times 3$ 的矩形时和上面共用两个即可。只能说画图的时候思维还是太局限了。 $T2$ 并不困难，需要注意一些性质，然后就变得很简单了。 $T3$ 没听懂。这场应该花更多时间做 $T2$，还是考试策略不够好，只想着先把 $T1$ 做出来，忽视自己擅长和不擅长的东西。

题解

T1.构造题

订过了。

T2.匹配题

订过了，但是还没调过。

T3.作业题

没听懂

DAY 7

上午是spx模拟赛，下午是FWT和FMT选讲

时间安排

• $7:40-8:00$ 看题，今天的感觉比较正常啊，没有构造！
• $8:00-9:00$ $T1$ 是最可做的，从 $T1$ 开。尝试口胡出一个复杂度正确。在上厕所的时候忽然相当可以颜色段均摊配合矩形扫描线。那么只需要支持矩形加和矩形求和，这个之前我做过，可以扫描线加维护历史版本和维护。
• $9:00-10:40$ 写的比较小心，因此虽然慢了一点但是很快就没啥错误了。测数据发现答案都对了。但是 $1e5$ 数据怎么要跑 $16s$ 啊！！！时限还是 $3s$。整个人都崩溃了。
• $10:40-11:50$ 发现我的常数可能会导致写的正解和暴力一个分，就开始卡常。大力卡常：循环展开矩阵，加入 $inline,const$ 和一些减枝。在我的不懈努力下成功将 $16s$ 的数据卡到了 $9s$。有个屁用啊！！！心态彻底炸了，感觉自己辛苦了 $4h$ 获得了暴力分。交了之后就跳了。
• $12:00-12:40$ 想 $T2$，没有什么较好的思路，然后写了个感觉能卡过第二档的代码，发现正确性一直调不对。最后 $10min$ 赶紧改成 $tarjan$ 还是没调对。然后交了。

赛后：好消息，$T1$ 开大时限了，我的代码应该能过 $60pts$。坏消息：我 $T2$ 代码交 $T1$ 上了。

终于保龄了啊。。。。。

反思：这场应该反思的或许还是心态吗？又或者是自己的常数？？ $T2$ 其实没有那么困难，除了有点 $adhoc$。感觉磕一磕或许还是能想到的。主要是 $T1$ 太搞心态，大常数选手写了正解却只能获得暴力分比较南崩。赛后问 klz，他说他什么都没卡就有 80pts 了，卡了卡就能直接通过。只能反思自己的代码习惯了。

题解

宿雾若水遥

订过了。并且学会了怎么使用 $4$ 个树状数组维护区间加，求区间历史版本和。

缠忆君影梦相见

会了还没订

晓月又经宵

没听懂。

DAY8

最后一天！上午是spx模拟赛，下午是线性代数选讲。

时间安排

• $7:40-8:10$ 看题，感觉 $T1$ 并不简单啊。 $T2$ 容斥应该能拿不少分。 $T3$ 像不可做题。
• $8:10-8:40$ 做了一步转化，发现 $T1$ 好像就和之前 $dmy$ 集训的一道题比较像了。仿照那个题的思路可以直接写出一个 $O(nm\log n)$ 的暴力，交上去竟然得了 $64pts$ ??哦原来是没绑sub。
• $8:40-10:00$ 尝试了很多想法去优化暴力的过程，无一例外感觉都很假。然后就跳了去做 $T2$ 了。
• $10:00-11:10$ 发现 $T2$ 直接容斥好像就有 $48pts$ 了，推了推细节就直接写了。顺利获得 $48pts$。好像加个状压就有 $60pts$ 了，但是比较难写就回过来看 $T1$ 了。
• $11:10-12:20$ 纯坐牢。想不到任何感觉正确性合理的做法。
• $12:20-12:40$ 写了写 $T3$ 的部分分，喜提 $4pts$。

最终得分：55 + 48 + 4 = 107
rk26

反思：这场前期节奏还是不错的，但是后期由于 $T1$ 没什么进展导致优势打没了。正解就是我认为很假的结论其中之一。感觉也真是唐万了。以后要敢于猜结论，小心验证才行啊。

题解

泉轻流花暖

会了，没订

岁云暮矣待月归

会了，没订

慕念萦心间

会不了一点。