高等数学第四章---不定积分（4.4有理函数的不定积分2）

&4.4有理函数的不定积分2

篇幅有限制，例题的解答会占大量字符，html限制字符为22000个左右。这里继续探讨上文的有理函数的不定积分。

一、三角函数有理式的不定积分

由 $\sin x$, $\cos x$ 以及常数经过有限次加、减、乘、除运算得到的函数，称为三角函数有理式。

例如：

• $\frac{1}{1+\sin x}$
• $\frac{\cos x}{2+\sin x}$
• $\frac{1}{\cos x(1+\cos x)}$
• ${\tan }^{2}x+\sec x$

注： 其他三角函数（$\tan x,\cot x,\sec x,\csc x$）本身也是由 $\sin x,\cos x$ 通过除法和常数 1 得到的，因此包含它们的有理式也属于三角函数有理式。

• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
• $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
• $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
• $\csc x=\frac{1}{\sin x}$

二、三角函数有理式的不定积分计算方法

根据被积函数的具体形式，可以采用不同的技巧。

（一）处理奇次幂情况：$\int {\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}xdx$ 或 $\int {\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}xdx$

特点：被积函数中 $\sin x$ 或 $\cos x$ 至少有一个是奇数次幂。

方法： 提出一个奇次幂的因子，将其余偶数次幂用平方关系转换，然后凑微分。

• 对于 $\int {\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}xdx$（$\cos x$ 是奇次幂）
  $$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{n}x{\cos }^{2k+1}xdx& =\int {\sin }^{n}x{\cos }^{2k}x\cdot \cos xdx\\ & =\int {\sin }^{n}x({\cos }^{2}x{)}^k\cdot \cos xdx\\ & =\int {\sin }^{n}x(1-{\sin }^{2}x{)}^k\cdot \cos xdx\\ & =\int {\sin }^{n}x(1-{\sin }^{2}x{)}^{k}d(\sin x)(\text{因为 }d(\sin x)=\cos xdx)\end{array}$$
  令 $t=\sin x$，积分变为 $\int t^n(1-t^2{)}^{k}dt$。这是一个关于 $t$ 的多项式积分，积分后将 $t$ 换回 $\sin x$。

• 对于 $\int {\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}xdx$（$\sin x$ 是奇次幂）
  $$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}xdx& =\int {\sin }^{2k}x{\cos }^{n}x\cdot \sin xdx\\ & =\int ({\sin }^{2}x{)}^k{\cos }^{n}x\cdot \sin xdx\\ & =\int (1-{\cos }^{2}x{)}^k{\cos }^{n}x\cdot \sin xdx\\ & =-\int (1-{\cos }^{2}x{)}^k{\cos }^{n}xd(\cos x)(\text{因为 }d(\cos x)=-\sin xdx)\end{array}$$
  令 $t=\cos x$，积分变为 $-\int (1-t^2{)}^k{t}^{n}dt$。积分后将 $t$ 换回 $\cos x$。

例 1： 计算 $\int {\sin }^{4}x{\cos }^{3}xdx$

解： ($\cos x$ 是奇次幂)
$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{4}x{\cos }^{3}xdx& =\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}x\cdot \cos xdx\\ & =\int {\sin }^{4}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx\\ & =\int {\sin }^{4}x(1-{\sin }^{2}x)d(\sin x)\\ & \stackrel{\text{令 }t=\sin x}{\to }\int t^4(1-t^2)dt\\ & =\int (t^4-t^6)dt\\ & =\frac{1}{5}{t}^5-\frac{1}{7}{t}^7+C\\ & =\frac{1}{5}{\sin }^{5}x-\frac{1}{7}{\sin }^{7}x+C\end{array}$$

例 2： 计算 $\int {\sin }^{5}x{\cos }^{6}xdx$

解： ($\sin x$ 是奇次幂)
$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{5}x{\cos }^{6}xdx& =\int {\sin }^{4}x{\cos }^{6}x\cdot \sin xdx\\ & =\int ({\sin }^{2}x{)}^2{\cos }^{6}x\cdot \sin xdx\\ & =\int (1-{\cos }^{2}x{)}^2{\cos }^{6}x\cdot \sin xdx\\ & =-\int (1-{\cos }^{2}x{)}^2{\cos }^{6}xd(\cos x)\\ & \stackrel{\text{令 }t=\cos x}{\to }-\int (1-t^2{)}^2{t}^{6}dt\\ & =-\int (1-2t^2+t^4)t^{6}dt\\ & =-\int (t^6-2t^8+t^{10})dt\\ & =-\left(\frac{t^7}{7}-\frac{2t^9}{9}+\frac{t^{11}}{11}\right)+C\\ & =-\frac{1}{7}{t}^7+\frac{2}{9}{t}^9-\frac{1}{11}{t}^{11}+C\\ & =-\frac{1}{7}{\cos }^{7}x+\frac{2}{9}{\cos }^{9}x-\frac{1}{11}{\cos }^{11}x+C\end{array}$$

（二）处理偶次幂情况：$\int {\sin }^{2n}x{\cos }^{2k}xdx$

特点：被积函数中 $\sin x$ 和 $\cos x$ 都是偶数次幂。

方法： 利用降幂公式（或称半角公式）将幂次降低，转化为关于倍角（如 $2x,4x,\dots$）的三角函数积分。

• ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
• ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ （有时也用）

例 3： 计算 $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$

解：
方法一：使用 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$
$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx& =\int (\sin x\cos x{)}^{2}dx\\ & =\int {\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{2}dx\\ & =\frac{1}{4}\int {\sin }^2(2x)dx\\ & =\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos (4x)}{2}dx(\text{降幂公式，注意角度变为 }4x)\\ & =\frac{1}{8}\int (1-\cos 4x)dx\\ & =\frac{1}{8}\left(\int 1dx-\int \cos 4xdx\right)\\ & =\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{4}\int \cos 4xd(4x)\right)\\ & =\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{4}\sin 4x\right)+C\\ & =\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C\end{array}$$
方法二：直接用降幂公式（如原笔记）
$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx& =\int \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)dx\\ & =\frac{1}{4}\int (1-{\cos }^2(2x))dx\\ & =\frac{1}{4}\int {\sin }^2(2x)dx\\ & =\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos (4x)}{2}dx\\ & =\frac{1}{8}\int (1-\cos 4x)dx\\ & =\frac{1}{8}(x-\frac{1}{4}\sin 4x)+C\\ & =\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C\end{array}$$

（三）处理正切、正割特定次幂情况：$\int {\sec }^{n}x{\tan }^{2k+1}xdx$ 或 $\int {\sec }^{2k}x{\tan }^{n}xdx$

特点：$\tan x$ 是奇次幂 或 $\sec x$ 是偶数次幂。

方法： 利用 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$ 以及 $\sec x$ 和 $\tan x$ 的微分关系 $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ 和 $d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$。

• 对于 $\int {\sec }^{n}x{\tan }^{2k+1}xdx$ ($\tan x$ 是奇次幂)
  提出一个 $\sec x\tan x$ 因子凑 $d(\sec x)$，将其余 ${\tan }^{2}x$ 换成 ${\sec }^{2}x-1$。
  $$\begin{array}{rl}\int {\sec }^{n}x{\tan }^{2k+1}xdx& =\int {\sec }^{n-1}x{\tan }^{2k}x\cdot (\sec x\tan x)dx\\ & =\int {\sec }^{n-1}x({\tan }^{2}x{)}^k\cdot (\sec x\tan x)dx\\ & =\int {\sec }^{n-1}x({\sec }^{2}x-1{)}^{k}d(\sec x)(\text{因为 }d(\sec x)=\sec x\tan xdx)\end{array}$$
  令 $t=\sec x$，积分变为 $\int t^{n-1}(t^2-1{)}^{k}dt$。

• 对于 $\int {\sec }^{2k}x{\tan }^{n}xdx$ ($\sec x$ 是偶数次幂, $k\ge 1$)
  提出一个 ${\sec }^{2}x$ 因子凑 $d(\tan x)$，将其余 ${\sec }^{2}x$ 换成 $1+{\tan }^{2}x$。
  $$\begin{array}{rl}\int {\sec }^{2k}x{\tan }^{n}xdx& =\int {\sec }^{2k-2}x{\tan }^{n}x\cdot {\sec }^{2}xdx\\ & =\int ({\sec }^{2}x{)}^{k-1}{\tan }^{n}x\cdot {\sec }^{2}xdx\\ & =\int (1+{\tan }^{2}x{)}^{k-1}{\tan }^{n}xd(\tan x)(\text{因为 }d(\tan x)={\sec }^{2}xdx)\end{array}$$
  令 $t=\tan x$，积分变为 $\int (1+t^2{)}^{k-1}{t}^{n}dt$。

例 4： 计算 $\int {\tan }^{3}x\sec xdx$

解： ($\tan x$ 是奇次幂)
$$\begin{array}{rl}\int {\tan }^{3}x\sec xdx& =\int {\tan }^{2}x\cdot (\sec x\tan x)dx\\ & =\int ({\sec }^{2}x-1)d(\sec x)\\ & \stackrel{\text{令 }t=\sec x}{\to }\int (t^2-1)dt\\ & =\frac{1}{3}{t}^3-t+C\\ & =\frac{1}{3}{\sec }^{3}x-\sec x+C\end{array}$$

例 5： 计算 $\int {\sec }^{6}xdx$

解： ($\sec x$ 是偶数次幂, ${\tan }^{n}x$ 中 $n=0$)
$$\begin{array}{rl}\int {\sec }^{6}xdx& =\int {\sec }^{4}x\cdot {\sec }^{2}xdx\\ & =\int ({\sec }^{2}x{)}^2\cdot {\sec }^{2}xdx\\ & =\int (1+{\tan }^{2}x{)}^{2}d(\tan x)\\ & \stackrel{\text{令 }t=\tan x}{\to }\int (1+t^2{)}^{2}dt\\ & =\int (1+2t^2+t^4)dt\\ & =t+\frac{2}{3}{t}^3+\frac{1}{5}{t}^5+C\\ & =\tan x+\frac{2}{3}{\tan }^{3}x+\frac{1}{5}{\tan }^{5}x+C\end{array}$$

（四）处理不同频率乘积：$\int \sin (Ax)\cos (Bx)dx$, $\int \sin (Ax)\sin (Bx)dx$, $\int \cos (Ax)\cos (Bx)dx$

方法： 利用积化和差公式将乘积转化为和差，然后分别积分。

• $\cos (Ax)\cos (Bx)=\frac{1}{2}[\cos ((A-B)x)+\cos ((A+B)x)]$
• $\sin (Ax)\sin (Bx)=\frac{1}{2}[\cos ((A-B)x)-\cos ((A+B)x)]$
• $\sin (Ax)\cos (Bx)=\frac{1}{2}[\sin ((A+B)x)+\sin ((A-B)x)]$
• $\cos (Ax)\sin (Bx)=\frac{1}{2}[\sin ((A+B)x)-\sin ((A-B)x)]$

例 6： 计算 $\int \cos (3x)\cos (2x)dx$

解： ($A=3,B=2$)
$$\begin{array}{rl}\int \cos (3x)\cos (2x)dx& =\int \frac{1}{2}[\cos ((3-2)x)+\cos ((3+2)x)]dx\\ & =\frac{1}{2}\int (\cos x+\cos 5x)dx\\ & =\frac{1}{2}\left(\int \cos xdx+\int \cos 5xdx\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sin x+\frac{1}{5}\int \cos 5xd(5x)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sin x+\frac{1}{5}\sin 5x\right)+C\\ & =\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{10}\sin 5x+C\end{array}$$

（五）一般情况：万能代换

对于任何三角函数有理式 $R(\sin x,\cos x)$ 的不定积分 $\int R(\sin x,\cos x)dx$，都可以通过万能代换（Universal Trigonometric Substitution） 转化为有理函数 $r(t)$ 的积分 $\int r(t)dt$。

代换关系：
令 $t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$。则：

• $x=2\arctan t$
• $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
• $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$
• $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
• $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$

将 $\sin x$, $\cos x$, $dx$ 全部用 $t$ 的表达式代入原积分，即可得到关于 $t$ 的有理函数积分。然后使用上一讲的有理函数积分方法（部分分式分解）计算，最后将 $t$ 替换回 $\tan (x/2)$。

优点： 理论上可以解决所有三角函数有理式的积分。
缺点： 计算量通常较大，得到的关于 $t$ 的有理函数可能很复杂。优先考虑前面几种特殊方法，只有在它们不适用时才考虑万能代换。

例 7： 计算 $\int \frac{1}{1+\cos x}dx$

解： （方法一：万能代换）
令 $t=\tan (x/2)$。
$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{1+\cos x}dx& =\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \left(\frac{2}{1+t^2}dt\right)\\ & =\int \frac{1}{\frac{(1+t^2)+(1-t^2)}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt\\ & =\int \frac{1}{\frac{2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt\\ & =\int \frac{1+t^2}{2}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt\\ & =\int 1dt\\ & =t+C\\ & =\tan \left(\frac{x}{2}\right)+C\end{array}$$

解： （方法二：利用半角公式，更简单）
$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{1+\cos x}dx& =\int \frac{1}{2{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)}dx(\text{因为 }1+\cos x=2{\cos }^2(x/2))\\ & =\frac{1}{2}\int {\sec }^2\left(\frac{x}{2}\right)dx\\ & =\int {\sec }^2\left(\frac{x}{2}\right)d\left(\frac{x}{2}\right)(\text{因为 }d(x/2)=\frac{1}{2}dx)\\ & =\tan \left(\frac{x}{2}\right)+C\end{array}$$
(注： 这个例子说明，即使万能代换可行，也应优先寻找更简洁的方法。**)

例 8： 计算 $\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx$

解： (这种复杂形式通常需要万能代换)
令 $t=\tan (x/2)$。代入 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。
$$\begin{array}{rl}\text{分子部分: }& 1+\sin x=1+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1+t^2+2t}{1+t^2}=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}\\ \text{分母的第一个因子: }& \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \text{分母的第二个因子: }& 1+\cos x=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}\\ \text{没有dx的被积函数: }& \frac{\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}}=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}\cdot \frac{(1+t^2{)}^2}{4t}=\frac{(1+t{)}^2(1+t^2)}{4t}\end{array}$$

现在进行积分：
$$\begin{array}{rl}\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx& =\int \left(\frac{(1+t{)}^2(1+t^2)}{4t}\right)\cdot \left(\frac{2}{1+t^2}dt\right)\\ & =\int \frac{(1+t{)}^2\cdot 2}{4t}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{(1+t{)}^2}{t}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1+2t+t^2}{t}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{t}+2+t\right)dt\\ & =\frac{1}{2}\left(\ln |t|+2t+\frac{t^2}{2}\right)+C\\ & =\frac{1}{2}\ln |t|+t+\frac{1}{4}{t}^2+C\\ & =\frac{1}{2}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+\tan \frac{x}{2}+\frac{1}{4}{\tan }^2\frac{x}{2}+C\end{array}$$