矩阵快速幂 快速求解递推公式

• 对于一个给定的递推公式，例如dp[i] = dp[i-1] * a + dp[i-2] * b,那么常用的做法，肯定是使用o(n)的时间复杂度进行线性求解，但是如果$n={10}^{18}$，那么肯定超时的，这个时候就需要使用到矩阵快速幂，其实也就是使用矩阵运算+快速幂进行求解递归结果

矩阵乘法

• 咱们先手搓一下矩阵乘法！
• 这是一个$o(n^3)$时间复杂度的暴力做法，那么如何快速记忆？
  • 矩阵A和B的形状分别是a*b和b*c，结果矩阵C的形状是a*c，所以最外层循环是rang(a)，中间一层的循环是range(c)，最内层循环是range(b)，最内层循环用于将矩阵A和B对应位置的元素相乘再进行求和

# 矩阵乘法 A @ B
def matrix_multiply(A, B):m, n = len(A), len(B[0])C = [[0] * n for _ in range(m)]for i in range(m):for j in range(n):for k in range(len(B)):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return C

快速幂

• 快速幂是一种思想！将幂次的指数进行二分拆解，在o(logn)时间复杂度内求解出幂次，而不在乎底的形式(正常来说就是数，在这里就替换成矩阵！不过无所谓只要能乘起来即可)

# 矩阵快速幂，A ^ n @ B ,用于求解 矩阵 A 的 n 次幂，然后再乘上 矩阵 B
# 矩阵快速幂 求解A ^ n * B 
def matrix_power(A, n, B):res = B while n > 0:if n & 1:res = matrix_multiply(res, A)A = matrix_multiply(A, A)n >>= 1return res

习题

对于习题，其实只要是递推公式，都可以使用矩阵快速幂来快速求解，当然这也是当n>10^7左右的时候，使用线性时间会超时的情况

790.多米诺和托米诺平铺

790.多米诺和托米诺平铺

• 思路分析：上面的题目的递推公式比较难想，建议可以去看灵神的题解，这里主要是使用这个题目作为例子，说明矩阵快速幂的使用

灵神题解

• 递推公式f[i] = f[i - 1] * 2 + f[i - 3]
• 根据等式右边，涉及到f[i-1]和f[i-3],虽然没有涉及f[i-2]，所以右边设置为3*1的矩阵，左边的话，为了对应也设置一个3*1的矩阵

• 然后根据这个递推公式确定权重矩阵A

MOD = 1_000_000_007# a @ b，其中 @ 是矩阵乘法
def mul(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:return [[sum(x * y for x, y in zip(row, col)) % MOD for col in zip(*b)]for row in a]# a^n @ f
def pow_mul(a: List[List[int]], n: int, f: List[List[int]]) -> List[List[int]]:res = fwhile n:if n & 1:res = mul(a, res)a = mul(a, a)n >>= 1return resclass Solution:def numTilings(self, n: int) -> int:if n == 1:return 1f2 = [[2], [1], [1]]m = [[2, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]fn = pow_mul(m, n - 2, f2)return fn[0][0]