2025五一杯A题五一杯数学建模思路代码文章教学:支路车流量推测问题

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通用假设与核心模型
主路车流量 = 支路1 + 支路2 + …
支路车流随时间变化是连续函数，且遵循题设描述的趋势（线性、分段、周期性等）
所有数据均为标准车当量数，忽略单位
时间点从 7:00 开始，每两分钟采样一次

📘 问题1：两支路汇入主路的简单情况（Y型）
🎯 目标：
推测支路1和支路2的车流量函数，满足：
支路1：线性增长
支路2：先线性增长后线性减少

🧠 建模思路：
设定时间变量 t=0 对应 7:00；
设：
支路1车流量为 f1(t)=a1t+b1​
支路2车流量为分段线性函数：
f2(t)={m1t+c1,0≤t≤tmm2t+c2,tm<t≤tend​​

主路车流量 F(t)=f1(t)+f2(t)，用最小二乘拟合主路数据得到未知参数；

拟合后可得具体表达式并填写表1.1

· 黑点：主路实际观测数据；
· 红线：拟合出的主路车流总函数；
· 蓝虚线：支路1；
· 绿虚线：支路2；
· 灰色竖线：支路2的拐点。

📗 问题2：四支路汇入主路（含周期、时延）
🎯 目标：

推测4个支路的函数表达式（支路4为周期函数），并给出7:30、8:30时刻的车流值
🧠 建模思路：

考虑到支路1、2有2分钟时延，主路观测值在 ttt 时刻等于：
F(t)=f1(t−1)+f2(t−1)+f3(t)+f4(t)

各支路函数设定如下：
支路1：常数函数 f1(t)=C1
支路2：三段函数（增–稳–增）
支路3：增长–稳定函数
支路4：周期函数 f4(t)=Asin⁡(ωt+ϕ)+B

用最小二乘法+断点调参反推每段参数
用拟合函数求出7:30、8:30车流量（注意时间单位换算）

📙 问题3：三支路+信号灯控制
🎯 目标：
考虑信号灯影响，推测各支路车流函数，重点在支路3灯控建模
🧠 建模思路：

灯控规律：红8分钟，绿10分钟，黄忽略，绿灯从7:06开始
确定灯控周期：每18分钟重复，使用时间模18的余数判断红绿灯状态

设支路3车流函数：
f3(t)={0,tmod  18∈[0,8) (红灯)g(t),tmod  18∈[8,18) (绿灯，g可为常数/线性)
支路1和2：分别构造分段增长、稳定、减少趋势函数

套用延时关系后：F(t)=f1(t−1)+f2(t−1)+f3(t)
拟合后求出目标时刻车流值，并分析误差（如灯控边界带来的跳跃）

问题4：有误差观测数据 + 灯控未知
🎯 目标：
在主路车流数据存在误差、信号灯起点未知的情况下反推出各支路实际车流函数
🧠 建模思路：

仍用：F(t)=f1(t−1)+f2(t−1)+f3(t)+ϵ(t)
支路1、2趋势为已知（增稳减）

支路3灯控起始时间未知，需将绿灯起点视作参数 t0​，尝试不同 t0​ 从6:58到7:18做滑窗拟合

拟合误差最小的灯控起点即为最优假设值

对比重构后的主路数据与原始数据，讨论误差来源（如传感器不稳定）

问题5：最少采样点推断支路函数
🎯 目标：
基于问题2和问题3的支路车流变化趋势，求最少观测主路流量所需的关键时间点集合
🧠 建模思路：

分析每条支路变化趋势的结构性：

线性函数：2点可定

分段线性函数：每段2点，段间1点断点
周期函数：至少1个周期的采样点（3个关键点即可拟正弦函数）
灯控函数：需覆盖红绿交界（至少每周期2~3点）

分析：
问题2中应在每段起止点选关键时刻（如 7:48、8:14 等

问题3中需覆盖所有灯控状态变化点，如 7:06, 7:16, 7:24…

汇总这些点作为最少采样点，填写表5.1