foc控制 - clarke变换和park变换

1. foc控制框图

• 下图是foc控制框图，本文主要是讲解foc控制中的larke变换和park变换
• clarke变换将 静止的$abc$坐标系 变换到 静止的$\alpha \beta$坐标系，本质上还是以 定子 为基准的坐标系
• park变换 则将$\alpha \beta$坐标系 变换到 随 转子旋转的 $dq$旋转坐标系，本质是以 转子 为基准的坐标系，方便计算和分析
  

2. clarke变换

2.1 理解clarke变换是要做什么

• 答案就是下面这张图，无论是 $abc坐标系$ 还是 $\alpha \beta 坐标系$, 其实是在同一个平面坐标系中（定子所构成的平面），其实就是将 $abc三相$ 的合成矢量重新分解到 $\alpha \beta 两相$ 中。
  

2.2 abc坐标系合成矢量的计算

• 三相对称正弦电流大小的计算公式（标量，只有大小没有方向）
  
  $$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{a}}=I_{\mathrm{m}}\cos \omega t\\ \\ I_{\mathrm{b}}=I_{\mathrm{m}}\cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{3}\right)\\ \\ I_{\mathrm{c}}=I_{\mathrm{m}}\cos \left(\omega t+\frac{2\pi }{3}\right)\end{array} \\ w:角速度(单位时间内转过的角度)；t:时间；wt:转过的角度 \\ --类比一下-- \\ v:速度；t:时间；vt:走过的距离 \\ ------- \\ w=2\pi f//2\pi ：360^o;f=\frac{周期}{秒} \end{gathered}$$
• $abc三相电流$ 合成矢量的计算公式为：$\overrightarrow{I_s}=\overrightarrow{I_{\mathrm{a}}}+\overrightarrow{I_{\mathrm{b}}}+\overrightarrow{I_{\mathrm{c}}}$, 将上述方程组中的标量加上方向就是矢量
  $$\begin{gathered} \overrightarrow{I_s}=\overrightarrow{I_{\mathrm{a}}}+\overrightarrow{I_{\mathrm{b}}}+\overrightarrow{I_{\mathrm{c}}} \\ -- \\ \overrightarrow{I_s}=I_{\text{m}}\cos (\omega t)e^{j0}+I_{\text{m}}\cos (\omega t-\frac{2\pi }{3})e^{\mathrm{j}\frac{2\pi }{3}}+I_{\text{m}}\cos (\omega t+\frac{2\pi }{3})e^{-\mathrm{j}\frac{2\pi }{3}} \\ 理解一下这个公式 \end{gathered}$$
  
• 带入欧拉公式， 关于欧拉公式，可以参考我的另外一篇文章《理解欧拉公式》
  $$\begin{gathered} 欧拉公式 \\ {e}^{ix}=\cos x+i\sin x \\ --------------------------- \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\overline{I}}_{\mathrm{s}}& =I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t)+I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t-\frac{2\pi }{3})(\cos \frac{2\pi }{3}+\text{j}\sin \frac{2\pi }{3})\\ & +I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t+\frac{2\pi }{3})(\cos \frac{2\pi }{3}-\text{j}\sin \frac{2\pi }{3})\end{array} \\ 进一步计算 \\ \begin{array}{rl}{\overrightarrow{I}}_{\mathrm{s}}& =I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t)+I_{\mathrm{m}}[\cos \left(\omega t\right)\cos \frac{2\pi }{3}+\sin \left(\omega t\right)\sin \frac{2\pi }{3}](-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & +I_{\mathrm{m}}[\cos \left(\omega t\right)\cos \frac{2\pi }{3}-\sin \left(\omega t\right)\sin \frac{2\pi }{3}](-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\end{array} \\ 带入三角函数的值 \\ \begin{array}{rl}{\overline{I}}_{\mathrm{s}}& =I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t)+I_{\mathrm{m}}[-\frac{1}{2}\cos \left(\omega t\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(\omega t\right)](-\frac{1}{2}+\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & +I_{\mathrm{m}}[-\frac{1}{2}\cos \left(\omega t\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(\omega t\right)](-\frac{1}{2}-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{2})\end{array} \\ 进一步计算 \\ \begin{array}{rl}{\overrightarrow{I}}_s& =I_{\mathrm{m}}\cos (\omega t)+I_{\mathrm{m}}\left[\frac{1}{4}\cos \left(\omega t\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}\sin \left(\omega t\right)-\mathrm{j}\frac{\sqrt{3}}{4}\cos \left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\sin \left(\omega t\right)\right]\\ & +I_{\mathrm{m}}[\frac{1}{4}\cos \left(\omega t\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}\sin \left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\cos \left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{4}\sin \left(\omega t\right)]\end{array} \\ ------------------------- \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} {\overline{I}}_{\mathrm{s}}=\frac{3}{2}{I}_{\mathrm{m}}\cos \left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{2}{I}_{\mathrm{m}}\sin \left(\omega t\right) \\ 至此公式变成了复数的表达形式，还可以写成如下的等价形式 \\ \overrightarrow{I_s}=\frac{3}{2}{I}_{\text{m}}{e}^{\mathrm{j}\omega t} \end{gathered}$$
• 由此可以看出，空间上互差120°的三相对称正弦电流的合成矢量是一个角速度为ω且绕中心点旋转的矢量，因此能形成旋转磁场。它的幅值是$I_m$的 $\frac{3}{2}$ 倍。
• 从最终推导出的公式可以看出来${\overline{I}}_{\mathrm{s}}=\frac{3}{2}{I}_{\mathrm{m}}\cos \left(\omega t\right)+\mathrm{j}\frac{3}{2}{I}_{\mathrm{m}}\sin \left(\omega t\right)$，$\alpha \beta 轴$变成了如下形式
  

2.3 clarke变换和反clarke变换 $[i_a,i_b,i_c]<==>[i_{\alpha },i_{\beta }]$

2.3.1 计算

• 这部分相对较为简单， 如下图所示，用最简单的三角函数就可以计算，就直接写答案了

$$\begin{gathered} i_{\alpha }=I_{\mathrm{a}}-I_{\mathrm{b}}\cos \frac{\pi }{3}-I_{\mathrm{c}}\cos \frac{\pi }{3} \\ {i}_{\beta }=I_{\mathrm{b}}\cos \frac{\pi }{6}-I_{\mathrm{c}}\cos \frac{\pi }{6} \\ ----------- \\ {i}_{\alpha }=I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{c}} \\ {i}_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{c}} \\ ----------- \\ 写成矩阵的形式 \\ \left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ & & \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{a}}\\ I_{\mathrm{b}}\\ I_{\mathrm{c}}\end{array}\right] \end{gathered}$$

2.3.2 等幅值clarke变换

• 依据第2.2节的计算 $I_{\alpha },I_{\beta }$ 的值最大为 $\frac{3}{2}倍的I_a，I_b，I_c$，所以在 4.1节 的基础上乘以 $\frac{2}{3}$ 使得变换前后的幅值相等，一般将这种变换称为 等幅值变换
  $$\begin{gathered} clarke等伏值变换 \\ {i}_{\alpha }=\frac{2}{3}(I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{c}}) \\ {i}_{\beta }=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{c}}) \\ ---------------- \\ 矩阵形式 \\ \left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{a}}\\ I_{\mathrm{b}}\\ I_{\mathrm{c}}\end{array}\right] \end{gathered}$$
• 在电机控制中$I_{\mathrm{a}}+I_{\mathrm{b}}+I_{\mathrm{c}}=0$, 所以可以对上述公式进行化简
  $$\begin{gathered} i_{\alpha }=\frac{2}{3}(I_{\mathrm{a}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{c}}) \\ {i}_{\beta }=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{b}}-\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_{\mathrm{c}}) \\ ---------------- \\ {I}_a+I_b+I_c=0==>I_c=-I_a-I_b目标是消掉I_c \\ {i}_{\alpha }=\frac{2}{3}\left(I_a-\frac{1}{2}{I}_b-\frac{1}{2}\left(-I_a-I_b\right)\right)=I_a \\ {i}_{\beta }=\frac{2}{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_b-\frac{\sqrt{3}}{2}(-I_a-I_b)\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}{I}_a+\frac{2}{\sqrt{3}}{I}_b \end{gathered}$$
  $$\begin{gathered} i_{\alpha }==I_a \\ {i}_{\beta }==\frac{1}{\sqrt{3}}{I}_a+\frac{2}{\sqrt{3}}{I}_b \\ ------------------- \\ 矩阵形式 \\ \left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\end{array}\right] \end{gathered}$$

2.3.3 等幅值clarke反变换

$$\begin{gathered} I_a=i_{\alpha } \\ {I}_b=-\frac{1}{2}{i}_{\alpha }+\frac{\sqrt{3}}{2}{i}_{\beta } \\ {I}_c=-\frac{1}{2}{i}_{\alpha }-\frac{\sqrt{3}}{2}{i}_{\beta } \\ ------------------------------ \\ 矩阵形式 \\ \left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right] \end{gathered}$$

3. park变换

3.1 说明

• clarke变换将 静止的$abc$坐标系 变换到 静止的$\alpha \beta$坐标系，本质上还是以 定子 为基准的坐标系
• park变换 则将$\alpha \beta$坐标系 变换到 随 转子旋转的 $dq$旋转坐标系，本质是以 转子 为基准的坐标系，方便计算和分析
• park的方法如下图所示
  

3.2 park变换公式

$$\begin{gathered} i_{\mathrm{d}}=i_{\alpha }\cos \theta +i_{\beta }\sin \theta \\ {i}_{\mathrm{q}}=-i_{\alpha }\sin \theta +i_{\beta }\cos \theta \\ ------------------------------------- \\ 矩阵形式 \\ \left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right] \end{gathered}$$

3.3 park反变换公式

$$\begin{gathered} i_{\alpha }=i_d\cos \theta -i_q\sin \theta \\ {i}_{\beta }=i_d\sin \theta +i_q\cos \theta \\ --------- \\ 矩阵形式 \\ \left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right] \end{gathered}$$