动态规划----------完全背包问题

1.   动态规划思路

完全背包问题和 0-1 背包问题非常相似，区别仅在于不限制物品的选择次数。

• 在 0-1 背包问题中，每种物品只有一个，因此将物品 i 放入背包后，只i能从前 i−1 个物品中选择。
• 在完全背包问题中，每种物品的数量是无限的，因此将物品 i 放入背包后，仍可以从前 i 个物品中选择。

在完全背包问题的规定下，状态 [i,c] 的变化分为两种情况。

• 不放入物品 � ：与 0-1 背包问题相同，转移至 [i−1,c] 。
• 放入物品 � ：与 0-1 背包问题不同，转移至 [i,c−wgt[i−1]] 。

从而状态转移方程变为：

 dp[i][c] = myMax(dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])

核心代码：

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = myMax(dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }
    int res = dp[n][cap];
    // 释放内存

3.   空间优化

由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来的，因此空间优化后应该对 dp 表中的每一行进行正序遍历。

这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int c = 1; c <= cap; c++) {
            if (wgt[i - 1] > c) {
                // 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[c] = dp[c];
            } else {
                // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = myMax(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
            }
        }
    }