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线性动态规划刷题

news 来源：原创 2025/6/9 5:58:25

洛谷P3637最长上升子序列时间复杂度O(n^2)

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50005;
int a[N],f[N];
int main(){
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[j]<a[i]){
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
			}
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,f[i]);
	cout<<res<<endl;
	
	return 0;
}

可以进行二分优化时间复杂度O(nlogn)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5005;
int a[N];
int q[N];
int n;

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=len;
		while(l<r){
			int mid=l+r+1>>1;
			if(q[mid]<a[i])l=mid;
			else r=mid-1;
		}
		len=max(len,r+1);
		q[r+1]=a[i];
	}
	cout<<len<<endl;
	return 0;
}

洛谷P2758编辑距离时间复杂度O(la*lb)

定义char数组cin a和b strlen求长度

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2005;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main(){
	cin>>a+1>>b+1;
	int la=strlen(a+1),lb=strlen(b+1);
	for(int i=1;i<=la;i++)f[i][0]=i;
	for(int i=1;i<=lb;i++)f[0][i]=i;
	for(int i=1;i<=la;i++){
		for(int j=1;j<=lb;j++){
			f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);
			if(a[i]==b[j])f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]);
			else f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
		}
	}
	cout<<f[la][lb]<<endl;
	return 0;
}

洛谷P1439最长公共子序列动态规划时间复杂度O(n^2)

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
const int N=1010;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m>>a+1>>b+1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

进行二分优化，通过map映射a然后通过b加入f，f为每次记录最后一个位置的单调数组，然后进行a映射的位置的插入，不满足b对a时二分找到位置修改为最优。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],b[N],map[N],f[N];
int n;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		map[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
		f[i]=0x7fffffff;
	}
	int len=0;
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=len;
		if(map[b[i]]>f[len])f[++len]=map[b[i]];
		while(l<=r){
			int mid=l+r>>1;
			if(f[mid]>map[b[i]])r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		f[l]=min(f[l],map[b[i]]);
	}
	cout<<len<<endl;
	return 0;
}

洛谷P1999导弹拦截

求最大不上升子序列和最大上升子序列

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],q[N];

int main(){
	int n=1;
	int x;
	while(cin>>a[n]){
		n++;
	}
	n--;
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=len;
		while(l<r){
			int mid=l+r+1>>1;
			if(q[mid]>=a[i])l=mid;
			else r=mid-1; 
		}
		len=max(len,r+1);
		q[r+1]=a[i];
	} 
	cout<<len<<endl;
	len = 0;
	memset(q,0,sizeof(q));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int l=0,r=len;
		while(l<r){
			int mid=l+r+1>>1;
			if(q[mid]<a[i])l=mid;
			else r=mid-1;
		}
		len=max(len,r+1);
		q[r+1]=a[i];
	} 
	cout<<len<<endl;
    return 0;
}

洛谷P2285打鼹鼠

通过结构体记录xy和对应的时间，然后找状态枚举终点i从j走到i进行找状态f[i]的最大值，f[i]为以i结尾我们最多能抓到多少鼹鼠。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int M=10010;
int n,m;
struct node{
	int t,x,y;
}node[M];
int f[M];
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>node[i].t>>node[i].x>>node[i].y;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		f[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if((abs(node[i].x-node[j].x)+abs(node[i].y-node[j].y))<=node[i].t-node[j].t){
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
			} 
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)res=max(res,f[i]);
	cout<<res<<endl;
	
    return 0;
}