考研数据结构之图的应用：最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径
考研数据结构之图的应用：最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径
图（Graph）作为数据结构中的核心内容，在实际应用中具有广泛价值。本文将系统讲解图的四大经典应用——最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径，并探讨有向无环图（DAG）在表达式优化中的作用，结合真题解析帮助读者掌握核心逻辑。
一、最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）
1. 定义与适用场景
- 定义：无向连通图中，选取
n-1条边连接所有顶点，且总权重最小的生成树。 - 应用场景：
- 网络布线（如电力网、通信网）的最低成本设计。
- 旅行商问题（TSP）的近似解法。
2. 经典算法
- Prim算法：
从任意顶点开始，逐步选择当前距离已选集合最近的顶点，适合稠密图。 - Kruskal算法：
按边权重从小到大依次选择，同时避免环路，适合稀疏图。
二、最短路径（Shortest Path）
1. 单源最短路径（Dijkstra算法）
- 核心思想：贪心策略，维护一个距离数组
dist，每次选择距离源点最近的顶点进行松弛操作。 - 限制：不能处理负权边。
- 应用：地图导航中的最优路径规划（如高德地图）。
2. 多源最短路径（Floyd算法）
- 核心思想：动态规划，通过三重循环更新所有顶点对的最短路径。
- 优势：可处理负权边（但图中不能有负权环）。
三、拓扑排序（Topological Sort）
1. 定义与适用场景
- 定义：对有向无环图（DAG）的顶点进行线性排序，使得所有边均从排在前面的顶点指向后面的顶点。
- 应用场景：
- 任务调度（如课程学习顺序、软件构建依赖）。
- 代码编译中的依赖关系解析。
2. 算法实现
- Kahn算法：
- 统计所有顶点的入度。
- 将入度为0的顶点加入队列。
- 依次删除队列中的顶点，并更新其邻接点的入度。
四、关键路径（Critical Path）
1. 定义与适用场景
- 定义：在带权有向无环图（AOE网）中，从源点到汇点的最长路径，决定整个工程的最短完成时间。
- 应用场景：
- 项目管理中的进度优化（如建筑施工）。
- 计算机流水线指令调度。
2. 关键活动计算
- 参数：
ve[i]：顶点i的最早发生时间。vl[i]：顶点i的最晚发生时间。e[j]：活动j的最早开始时间。l[j]：活动j的最晚开始时间。
- 关键活动：满足
e[j] = l[j]的活动。
五、有向无环图（DAG）描述表达式
1. 应用场景
- 表达式优化：通过DAG合并公共子表达式，减少计算冗余。
示例：
表达式(a + b) * (a + b)可表示为：
公共子表达式*/ \+ a/ \ a ba + b仅计算一次。
六、真题解析
1. 最小生成树算法选择
题目（2022年真题，）：
给定一个稀疏图，应选择Prim算法还是Kruskal算法？
答案：
Kruskal算法更适合稀疏图，因其时间复杂度为O(E log E)，而Prim算法在稠密图中更高效。
2. 拓扑排序的应用
题目（经典真题，）：
一个工程的AOV网如下：
A → B → C ↓ ↓ D → E写出其拓扑排序序列。
解析：
可能的序列包括A → B → D → C → E或A → D → B → C → E，需满足所有边的先后关系。
七、总结
- 最小生成树与最短路径是资源优化的核心工具，需掌握算法选择与实现。
- 拓扑排序与关键路径是解决工程调度问题的关键技术。
- DAG在表达式优化和任务依赖分析中具有重要价值。