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运筹学之指派问题(原始匈牙利算法以及KM算法)

news 来源：原创 2025/5/2 15:00:02

1.图论概念review

1.1 无向完全图

无向完全图 ： ‌完全图是一个无向图‌，其中 ‌每一对不同的顶点之间都恰好有一条边直接相连‌。即，若图有 n 个顶点，则任意两个顶点间均存在唯一的一条边‌。边数是 $n (n - 1) /2$ .

1.2 完全二分图

完全二分图 ：其顶点集 V被严格划分为两个互不相交的子集 X 和 Y，且 ‌X 中的每个顶点与 Y 中的每个顶点均有且仅有一条边相连‌，但 X 或 Y内部的顶点之间没有边‌。完全二分图 $G_m^n$ 的m和n分别表示两个子集X和Y的顶点数。边数为 $\times n$ .

1.3 完美匹配

什么是完美匹配，指代一种能够覆盖图中所有顶点的特殊匹配结构。

二分图场景‌：在二分图中，若两部分的顶点数量相等，且存在一个匹配集合M(里面元素都是边)同时覆盖两部分的全部顶点，则该匹配称为完美匹配‌。

1.4 最大匹配

什么是最大匹配，有些情况下做不到完美匹配，只能尽量实现最多的配对，叫最大匹配。
总结，完美匹配一定是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配。

1.5 顶点全覆盖‌

顶点全覆盖‌：图中边的集合，使得每个顶点恰好与一条边相关联，不存在未被覆盖的顶点。

1.6 增广路径

这是图论中用于求解二分图最大匹配问题的核心概念，其定义需满足以下条件：

路径结构‌：连接两个‌未匹配顶点‌的路径，且路径上的边‌交替‌属于匹配边与非匹配边‌。
例如，路径形如：未匹配顶点→可匹配边→已匹配边→…→可匹配边→未匹配顶点。如图下所示：
长度特性‌：路径长度为‌奇数‌（边数为奇数），其中可选匹配边数量比已匹配边多一条‌.

1.7 交错路径概念

给定图G的一个匹配集合M（放的元素都是边），如果一条路径的边交替出现在M中和不出现在M中，我们称之为一条M-交错路径。

而如果一条M-交错路径，它的两个端点都不与M中的边关联，我们称这条路径叫做M-增广路径。

举个例子：
在这里插入图片描述
上图有五条边，只有2和4在已匹配集合M里，1、3和5都是可选匹配。

已匹配边：2和4
可选匹配边：1、3和5

你会发现1、3以及5也可以是一个匹配集合。总体来看1、2、3、4以及5这条路径是匹配集合M的一条交错路径，同时它还满足两个端点不与M中的边所关联。

既然这样就可以从1, 2, 3, 4以及5 这条路径中找到一个更大的匹配，而这个匹配比原先的匹配集合M多一条边，将是一个比原先M更大的匹配集合。

回顾我们的目标，是在确定的已匹配集合下寻找新的增广路径，因为出现一条增广路径，意味目前匹配中增加一条边。

这种复杂问题的求解思路，变成了寻找增广路径。当图中再也没有增广路径了，就意味着我们找到了该图的最大匹配。

我们这里所讨论的匹配，是图论中的任务分配问题，通常是针对于二部图发起的，想想也是，匹配不就是配对么，自然是两两成对了。

2. 历史背景与术语起源

原始匈牙利算法‌：由Kuhn于1955年提出，‌专门针对无权二分图的最大匹配问题‌，通过寻找增广路径实现顶点全覆盖‌。
改进版算法（KM算法）‌：Munkres在1957年引入‌权重处理机制‌，通过顶标调整与辅助矩阵优化，扩展至带权二分图的最小/最大权重匹配场景，故称为Kuhn-Munkres（KM）算法或Munkres算法‌

3.原始匈牙利算法

3.1 例解

初始化化一个图，它们的待匹配关系如下：

在这里插入图片描述
我们是基于二部图来讨论，上图就是这样的二部图，顶点集合分两类，X集合和Y集合

X集合：x1,x2,…,x6
Y集合：y1,y2,…,x7

我们的目标：是 尽可能多 地给X集合找到匹配顶点。注意，最大匹配是互相的，如果X集合能尽量多地匹配到Y集合，反过来，Y集合也不可能有更多地匹配到X集合。那我们开始做分步匹配说明：

step 1:刚开始，已匹配集合M肯定一个点都没有，我们随意选取待匹配集合的一条边，如（x1,y1）这条边，构建最初的匹配结果出来，如下图所示，已匹配的边用粗线标出：
在这里插入图片描述

step 2:接着给x2添加匹配，如下图的(x2,y2)边。
在这里插入图片描述
目前很顺利，到这里，我们的已匹配集合M，里面已经有(x1,y1)与(x2,y2)两条边。

step 3:然后我们想给x3顶点添加匹配，发现x3有待匹配边3条，按顺序从左到右，其中第一条待匹配边(x3,y1)中的y1已经被step1的x1顶点占用了，那么x3要强抢y1，建立(x3,y1)已匹配关系，那么(x1,y1)的匹配关系消失了，这时候x1另谋出路，发现自己还有另外两条可以匹配的关系，按顺序从左到右，发现(x1,y2)，但是y2已经被x2占用了，同样事情发生了，x1强抢y2,x2需要自谋生路，非常好，x2也发现了自己还有一个可以匹配的关系(x2,y5)，y5情况是无人占领，非常好，这一步到此结束，很明显这个寻找过程是递归形式。匹配如下所示：
在这里插入图片描述

我们把刚才涉及讨论到的顶点都拿出来：（x3,y1,x1,y2,x2,y5）,很明显，这是一条路径P。
在step2中，我们已经有匹配集合M，而P呢，就是M的一条增广路径。

前面提过，若发现了一条增广路径，意味着出现了数目更多的匹配关系。于是这里的step3中，我们把M中的配对点拆除，重新组合，得到了一个比step2更大的匹配集合M,里面元素是(x3,y1),(x1,y2),(x2,y5)这三条边。

这就是原始匈牙利算法的核心关键。

依葫芦画瓢，x4,x5按顺序加进来，最终得到本图的最大匹配关系，如下图所示：
在这里插入图片描述
另外我们也能发现，如果把y4让给x6，x5会没有匹配关系了，但不影响最大匹配关系。

总结，匈牙利算法就是为了寻找最大匹配，通过不断寻找原有匹配M的增广路径，因为找到一条M匹配的增广路径，意味出现一个更大的匹配M’，恰好比M多一条边。另外我们也发现了，最大匹配不是唯一，但最大匹配的大小却是唯一的。

4.改进的匈牙利算法(KM算法)

求解指派任务中时间最小或者成本最低的问题。

4.1 解法概要

step 1: 变换效率矩阵，使得每行每列至少有一个零

行变换:找出每行最小元素，从该行各元素中减去
列变换:找出每列最小元素，从该列各元素中减去

step2：找出独立零元素（不在同行同列的零），并用直线覆盖全部零元素
技巧：行有独立划掉列，列有独立划掉行

step3:再变换矩阵来增多独立零元素个数

在未划线的元素中找出最小元素
未划线的各个元素减去这个最小元素
交叉划线的元素均加上这个最小元素

4.2 例解

在这里插入图片描述

step 1: 变换效率矩阵，使得每行每列至少有一个零

行变换:找出每行最小元素，从该行各元素中减去
列变换:找出每列最小元素，从该列各元素中减去

step2：找出独立零元素（不在同行同列的零），并用直线覆盖全部零元素

技巧：行有独立划掉列，列有独立划掉行

先看第一行，第一行有独立的零，把零框出来，然后把该列划掉（行有独立划掉列）

这么划的意义是什么？结合例题来解释，就是一项工作只能由一个人来完成，那么这个工作已经指派给了这个人，其他人就不用负责了，所以把这一列划掉。
接着看第二行，其中第一列被划掉，故第二行第一列元素不用管，那么只看4，5以及0。接着显然这行有独立零元素，同样做法，把零框出来，然后把该列划掉（行有独立划掉列）。如下所示：
然后看第三行，由于前面两步已经把第一列和第四列划掉，那么第三行，只有元素0和0.这属于不是独立零的情况，那么我们就不划了。
再看第四行，同样判断做法，只有元素3和6，没有独立零，我们也不划了。
现在我们换矩阵的列方向来看，可以看到第二列是有独立零的： $1,4,0,5]^T$ ,按照口诀，把零框出来，列有独立划掉行。可以得到：

说明第二项任务指派了给第三人来完成。
第三列已经没有零了，我们回过头来看总体，整个矩阵，只框出3个零出来，但是这是4阶方阵，我们需要四个零，故我们需要进行step3。

step3:再变换矩阵来增多独立零元素个数

首先在未划线的元素中找到最小元素。我们结合上面最终得出的矩阵可以看到，最小元素就是1
然后在没划线的各个元素减去这个最小元素。
最后处在交叉划线的元素，要加上这个最小元素

我们可以看到，矩阵是长这样的变化，得到了一个新的矩阵 $c_{ij}^2$ ，这将放在step4中求解。
在这里插入图片描述

step4：找出独立零元素，再检验

在这里插入图片描述
从图上可以看到新的矩阵 $c_{ij}^2$ ，接下来我们接着看看怎么求解：

第1，3以及4行没有独立零，只有第2行有独立零，故做法同样，框出独立零，行有独立划掉列，得到：
现在从矩阵的列方向看，可以看到第一列有独立零，故做法同样，框出独立零，列有独立划掉行，得到：
接着我们看第二列，同样做法，由于第一行元素在上面那一步被划掉，故第二列第一行的元素不用管，那么第二列只剩下 $3,0,2]^T$ ，出现了独立零，老规矩，框出独立零，列有独立划掉行，得到：
从上面的矩阵图可以看到，还是只有三个独立零。独立零元素本应该未n阶方阵的n个，故本例还没有达到最优解。

step5:再变换矩阵来增多独立零元素个数

如同step3一样

首先在未划线的元素中找到最小元素。我们结合上面最终得出的矩阵可以看到，最小元素就是1
然后在没划线的各个元素减去这个最小元素。
最后处在交叉划线的元素，要加上这个最小元素

得到新矩阵 $c_{ij}^3$ ：
在这里插入图片描述

step6 :找出独立零元素，再检验

接着上面的新矩阵 $c_{ij}^3$ ，我们继续

可以看到矩阵第1，2以及3行都没有独立零，只有第4行，老规矩，框零元素，行有独立划掉列，得到：
注意：刚才上面划掉了第4列，可以发现，第二行这时候出现独立零了(因为第四列全部元素被划掉，包括第二行第四列的零元素)，此时第二行元素为[0,2,3],那么老规矩，框零元素，行有独立划掉列，得到：
注意：刚才上面划掉了第1列和第4列，可以发现，第一行这时候出现独立零了，此时第一行元素为[0,1]，那么老规矩，框零元素，行有独立划掉列，得到：
现在第三行有独立零了，框零元素，行有独立划掉列，可得到：

注意：其实你说是第三列有独立零也行，做成列有独立划掉行，也是没问题，因为我们已经解决了问题，框出的零已经有四个。

step7:写出结果及答案

在这里插入图片描述

4.3 衍生问题

1.如果不是求最小值，是求最大值Max如何处理？
这个好说，找出系数矩阵最大值M，然后令系数矩阵变为 m-系数矩阵各元素值，得到新的系数矩阵，再按照求解步骤走就行。
2.系数矩阵如果不是方阵，如何处理？
- 任务<人数：增加虚拟任务，虚拟任务对应的系数全部设为0
- 人数<任务：增加虚拟人，虚拟人对应的系数全设为0
3.若指定一个人做多个任务呢？
这个也好说，如果一个人可以做k个事情，就把这个人的系数复制k份，相当于增加了虚拟人，如果不是方阵，接着增加虚拟任务。
4.若某个人不能做某项工作呢？
这个也好说，把问题转换为求解最小值后，如果第i个人不能做第j项任务，则把系数矩阵的元素 $c_{ij}$ 设置为一个比系数矩阵中最大值大一些的数。

5.表上作业法与改进版匈牙利算法的区别

维度‌	‌表上作业法‌	‌改进版匈牙利算法‌
问题类型‌	运输问题（多对多资源分配）	指派问题（一对一或一对多匹配）
核心操作‌	表格检验数计算与闭回路调整 ‌‌	增广路径搜索与顶标动态调整 ‌‌
适用数据结构‌	二维供需矩阵	二分图或邻接表
优化目标‌	最小化全局运输成本 ‌‌	最大化匹配效率或权值 ‌‌