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C++之AVL树

news 来源：原创 2025/5/28 1:03:19

目录

AVL的概念

熟识pair （在命名空间std中）

STL中的底层结构

成员变量

将数据输入到 pair 中的方式：

AVL树的模拟实现 

定义AVL树节点结构

AVL树的插入

AVL树插入一个值的大概过程

平衡因子更新

旋转

旋转的原则

右单旋

右旋代码

左单旋

左旋代码

左右双旋 

左右双旋代码

 右左双旋

右左双旋代码

插入的完整代码

AVL树的查找

AVL树的检测

完整代码

AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，该
结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，
AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，
就像⼀个⻛向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN ，那么增删查改的效率也可
以控制在 O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

熟识pair （在命名空间std中）

STL中的底层结构

用法：pair<string, string> p = { "left","左边" }在这句中相当于left单词和“左边”这个定义绑定在一起，可以通过left找到对应的定义，就像字典一样。

成员变量

有两个成员变量：first，second。first指的是位于pair的第一个值，second指位于pair第二个位置的值。

将数据输入到 pair 中的方式：

在这篇文章中常用的：

1.运用是std::make_pair。pair<string,string>p1=make_pair("left","左边");

2.使用列表初始化。pair<string, string> p = { "left","左边" };

AVL树的模拟实现 

定义AVL树节点结构

在前面学习的二叉搜索树中，我们了解到二叉搜索树节点的成员有数据和它的左右孩子，但今天我们学习到的AVL树不仅有二叉搜索树的成员，还多了两个成员——parent（节点的父亲）和平衡因子。

struct AVLNode
{typedef AVLNode<K, V> Node;pair<K, V>_kv;Node* _right;Node* _left;Node* _parent;int _bf;//平衡因子AVLNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_right(nullptr),_left(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};

AVL树的插入

AVL树插入一个值的大概过程

1.插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因子更新

• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继向上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
• 不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

旋转

旋转的原则

1.保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右单旋

右旋用于处理左偏的情况，即节点的左子树比右子树高2。

右旋代码

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//处理_parent(subL,subLR,parent)if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* parentP = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parentP == nullptr){subL = _root;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentP->_left){parentP->_left = subL;}else{parentP->_right = subL;}subL->_parent = parentP;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}
左单旋

左旋用于处理右偏的情况，即节点的右子树比左子树高2。

左旋代码

 需处理的关系如下图

void RotateL(Node* parent){Node*subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* parentP = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentP == nullptr){subR = _root;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentP->_right){parentP->_right = subR;}else{parentP->_left = subR;}subR->_parent = parentP;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}
左右双旋 

 左右旋是先对左子树进行左旋，再对当前节点进行右旋。它用于处理左偏且左子树右偏的情况。

就如下面这棵树，对于10节点来说，左子树偏高，对于5节点来说右子树偏高，所以这时候就可以用左右双旋了。先让5节点作为旋转点进行左旋，旋转完后让10作为旋转点进行右旋。

b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，
引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引
发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋
转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。 

把上图中的b子树展开成8节点的子树。下面是场景1。

左右双旋代码
void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//已经插入后的bfint bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}
 右左双旋

右左旋是先对右子树进行右旋，再对当前节点进行左旋。它用于处理右偏且右子树左偏的情况。

就如下面这棵树，对于10节点来说，右子树偏高，对于5节点来说左子树偏高，所以这时候就可以用右左双旋了。先让5节点作为旋转点进行右旋，旋转完后让10作为旋转点进行左旋。

 b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因
⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，
引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋
转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

右左双旋代码
void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//已经插入后的bfint bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{assert(false);}}

插入的完整代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr)//{_root = new Node(kv);return true;}//寻找适合插入的位置。Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else {parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋{RotateRL(parent);}else{return false;}}else{assert(false);}}return true;}

AVL树的查找

和二叉搜索树一样的查找。

bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if(cur->_kv.first>key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}

AVL树的检测

根据AVL树的性质检测：

1.它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1

2.平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度

	int _Hight(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHight = _Hight(root->_left);int rightHight = _Hight(root->_right);return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHight = _Hight(root->_left);int rightHight = _Hight(root->_right);int diff = rightHight - leftHight;if (abs(diff) >= 2 ){return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalance(root->_right) && _IsBalance(root->_left);}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}

完整代码

#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLNode
{typedef AVLNode<K, V> Node;pair<K, V>_kv;Node* _right;Node* _left;Node* _parent;int _bf;AVLNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_right(nullptr),_left(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr)//{_root = new Node(kv);return true;}//寻找适合插入的位置。Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else {parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if(cur->_kv.first>key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}int _Hight(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHight = _Hight(root->_left);int rightHight = _Hight(root->_right);return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHight = _Hight(root->_left);int rightHight = _Hight(root->_right);int diff = rightHight - leftHight;if (abs(diff) >= 2 ){return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalance(root->_right) && _IsBalance(root->_left);}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;//处理_parent(subL,subLR,parent)if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* parentP = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parentP==nullptr){subL=_root;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentP->_left){parentP->_left = subL;}else{parentP->_right = subL;}subL->_parent = parentP;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node*subR = parent->_right;//Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL){subRL->_parent = parent;}Node* parentP = parent->_parent;subR->_left = parent;//xparent->_parent = subR;if (parent == _root){subR =_root ;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentP->_right){parentP->_right = subR;}else{parentP->_left = subR;}subR->_parent = parentP;}subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//已经插入后的bfint bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//已经插入后的bfint bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{assert(false);}}
private:Node* _root=nullptr;
};

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