【天外之物】加速度与速度的单位向量的内积得到加速度在切向向量上的值
切向加速度的标量值 a T a_T aT 正是加速度矢量 a \mathbf{a} a 与单位切矢量 T ^ \mathbf{\hat{T}} T^ 的内积（点积）。
1. 数学定义
设物体的速度为 v \mathbf{v} v，加速度为 a \mathbf{a} a，单位切矢量为 T ^ \mathbf{\hat{T}} T^，则切向加速度的标量值为：
a T = a ⋅ T ^ a_T = \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{T}} aT=a⋅T^
关键点：
- 内积的几何意义：点积 a ⋅ T ^ \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{T}} a⋅T^ 的物理含义是 a \mathbf{a} a 在 T ^ \mathbf{\hat{T}} T^ 方向上的投影长度（标量），即切向加速度的大小。
- 单位切矢量： T ^ = v ∣ v ∣ \mathbf{\hat{T}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} T^=∣v∣v，其模长为 1，方向与速度 v \mathbf{v} v 一致。
（两个向量的内积=两个向量的模的乘积再乘以一个夹角余弦，由于其中一个向量是单位向量，单位向量的模为1。因此两个向量的内积就等于一个向量的模乘以1再乘以夹角余弦，就是一个向量在另一个向量上的投影，因此就得到向量的投影结果）
2. 推导步骤
(1) 定义单位切矢量
速度方向即轨迹的切向方向，单位切矢量为：
T ^ = v v , 其中 v = ∣ v ∣ . \mathbf{\hat{T}} = \frac{\mathbf{v}}{v}, \quad \text{其中 } v = |\mathbf{v}|. T^=vv,其中 v=∣v∣.
(2) 计算内积
加速度矢量 a \mathbf{a} a 与 T ^ \mathbf{\hat{T}} T^ 的内积为：
a T = a ⋅ T ^ = a ⋅ ( v v ) = a ⋅ v v . a_T = \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{T}} = \mathbf{a} \cdot \left( \frac{\mathbf{v}}{v} \right) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}}{v}. aT=a⋅T^=a⋅(vv)=va⋅v.
(3) 物理意义
- 标量 a T a_T aT：表示加速度在速度方向上的分量，即速度大小的变化率：
a T = d v d t = d ∣ v ∣ d t . a_T = \frac{dv}{dt} = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt}. aT=dtdv=dtd∣v∣. - 法向加速度：加速度在垂直于速度方向的分量（由方向变化引起），与曲率半径相关。
3. 实例分析（卫星轨道）
假设卫星的加速度由引力提供，其位置、速度、加速度分别为 r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t)、 v ( t ) \mathbf{v}(t) v(t)、 a ( t ) \mathbf{a}(t) a(t)，则：
(1) 单位切矢量计算
T ^ = v v , v = ∣ v ∣ . \mathbf{\hat{T}} = \frac{\mathbf{v}}{v}, \quad v = |\mathbf{v}|. T^=vv,v=∣v∣.
(2) 切向加速度标量
a T = a ⋅ T ^ = a ⋅ v v . a_T = \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{T}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}}{v}. aT=a⋅T^=va⋅v.
(3) 物理行为
- 当 a T > 0 a_T > 0 aT>0：速度大小在增加（如卫星从远地点向近地点运动）。
- 当 a T < 0 a_T < 0 aT<0：速度大小在减小（如卫星从近地点向远地点运动）。
- 当 a T = 0 a_T = 0 aT=0：速度大小恒定（如理想圆轨道）。
4. 数学与物理的统一
(1) 内积的投影本质
点积的几何意义是投影，即：
a T = ∣ a ∣ cos θ , a_T = |\mathbf{a}| \cos\theta, aT=∣a∣cosθ,
其中 θ \theta θ 是 a \mathbf{a} a 与 T ^ \mathbf{\hat{T}} T^ 的夹角。
- 当 θ = 0 ∘ \theta = 0^\circ θ=0∘（加速度与速度同向），切向加速度最大（ a T = ∣ a ∣ a_T = |\mathbf{a}| aT=∣a∣）。
- 当 θ = 18 0 ∘ \theta = 180^\circ θ=180∘（加速度与速度反向），切向加速度最小（ a T = − ∣ a ∣ a_T = -|\mathbf{a}| aT=−∣a∣）。
(2) 自然坐标系下的分解
加速度在自然坐标系（切向-法向）中可分解为：
a = a T T ^ + a N N ^ , \mathbf{a} = a_T \mathbf{\hat{T}} + a_N \mathbf{\hat{N}}, a=aTT^+aNN^,
其中：
- a N = v 2 ρ a_N = \frac{v^2}{\rho} aN=ρv2 为法向加速度（ ρ \rho ρ 为曲率半径），
- N ^ \mathbf{\hat{N}} N^ 为单位法矢量。
5. 总结
- 数学本质：切向加速度标量是加速度矢量与单位切矢量的内积（点积）。
- 物理意义：描述速度大小的瞬时变化率，直接关联能量变化（动能定理）。
- 公式统一：
a T = a ⋅ T ^ = a ⋅ v v = d v d t . a_T = \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{T}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}}{v} = \frac{dv}{dt}. aT=a⋅T^=va⋅v=dtdv.
通过内积，我们能够从矢量中提取出特定方向（切向）的标量分量，这是矢量分析在物理学中解决实际问题的典型应用。