蓝桥杯 9. 九宫幻方

九宫幻方

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题目描述

小明最近在教邻居家的小朋友小学奥数，而最近正好讲述到了三阶幻方这个部分。

三阶幻方是指将 1 ~ 9 不重复地填入一个 3×3 的矩阵中，使得每一行、每一列和每一条对角线的和都是相同的。

三阶幻方又被称作九宫格，在小学奥数里有一句非常有名的口诀：

“二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中”

通过这句口诀，可以构造出一个标准九宫格，如下：

4 9 2  
3 5 7  
8 1 6  

有意思的是，所有的三阶幻方，都可以通过这个标准九宫格进行若干次镜像和旋转操作之后得到。

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任务

现在小明将一个三阶幻方（不一定是标准形）中的一些数抹掉，交给邻居家的小朋友来进行还原，并希望她判断是否只有唯一解。

你也被小明交付了同样的任务——写一个程序完成这个判断。

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输入描述

输入仅包含一组测试数据，为一个 3×3 的矩阵。矩阵中的数为 0 表示该位置的数被抹掉。

保证输入的矩阵至少可以还原出一组可行的三阶幻方。

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输出描述

• 如果仅能还原出一组可行的三阶幻方，则将该幻方输出，按矩阵形式每行一个空格分隔的整数。
• 否则，输出 "Too Many"（不含引号）。

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输入样例

0 7 2
0 5 0
0 3 0

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输出样例

6 7 2
1 5 9
8 3 4

c++代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;vector<vector<int>> arr(3, vector<int>(3)), ans;
vector<bool> know(10, true);
int cont = 0, sum = 0;void dfs(int i, int j) {if (cont >= 2 || i < 0 || i > 3 || j < 0 || j >= 3) return;if (i == 3) {sum = arr[0][0] + arr[1][1] + arr[2][2];if (sum != arr[0][2] + arr[1][1] + arr[2][0]) return;for (int i = 0; i < 3; i++) {int mid = 0;for (int j = 0; j < 3; j++) mid += arr[i][j];if (mid != sum) return;}for (int j = 0; j < 3; j++) {int mid = 0;for (int i = 0; i < 3; i++) mid += arr[i][j];if (mid != sum) return;}cont++;ans = arr;return;}int x, y;if (j == 2) x = i + 1, y = 0;else x = i, y = j + 1;if (arr[i][j] != 0) dfs(x, y);else {for (int k = 1; k <= 9; k++) {if (!know[k]) continue;know[k] = false;arr[i][j] = k;dfs(x, y);arr[i][j] = 0;know[k] = true;}}
}int main() {for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {cin >> arr[i][j];if (arr[i][j] != 0) know[arr[i][j]] = false;}}dfs(0, 0);if (cont == 1) {for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {if (j == 2 && i != 2) cout << ans[i][j] << endl;else cout << ans[i][j] << " ";}}}else cout << "Too Many";return 0;
}//by wqs

思路解析

每个数字只能出现一次，要记录哪些数字被选择了，我们只能选择没有被选择的数字。

if (arr[i][j] != 0) know[arr[i][j]] = false;

暴力枚举每个格子可能的数字就行。

for (int k = 1; k <= 9; k++) {if (!know[k]) continue;know[k] = false;arr[i][j] = k;dfs(x, y);arr[i][j] = 0;know[k] = true;
}

枚举完之后判断是否满足每一行、每一列和每一条对角线的和都是相同的。

sum = arr[0][0] + arr[1][1] + arr[2][2];
if (sum != arr[0][2] + arr[1][1] + arr[2][0]) return;
for (int i = 0; i < 3; i++) {int mid = 0;for (int j = 0; j < 3; j++) mid += arr[i][j];if (mid != sum) return;
}
for (int j = 0; j < 3; j++) {int mid = 0;for (int i = 0; i < 3; i++) mid += arr[i][j];if (mid != sum) return;
}

记录符合条件的数目，如果大于2直接跳出dfs函数，防止超时。

if (cont >= 2 || i < 0 || i > 3 || j < 0 || j >= 3) return;