CFD中的动量方程非守恒形式详解
在计算流体力学（CFD）中，动量方程可以写成守恒形式和非守恒形式，两者在数学上等价，但推导方式和应用场景不同。以下是对非守恒形式的详细解释：
1. 动量方程的守恒形式
首先回顾守恒形式的动量方程（以不可压缩流体为例）：
∂
(
ρ
u
)
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
u
⊗
u
)
=
−
∇
p
+
∇
⋅
τ
+
f
\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \mathbf{f}
∂t∂(ρu)+∇⋅(ρu⊗u)=−∇p+∇⋅τ+f
其中：
- (\rho) 为密度，(\mathbf{u}) 为速度矢量，
- (p) 为压力，(\boldsymbol{\tau}) 为粘性应力张量，
- (\mathbf{f}) 为体积力（如重力）。
2. 非守恒形式的推导
非守恒形式通过对守恒形式展开并利用连续性方程得到。步骤如下：
(1) 展开守恒形式的对流项
对流项 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u})) 可以展开为：
∇
⋅
(
ρ
u
⊗
u
)
=
ρ
(
u
⋅
∇
)
u
+
u
[
∇
⋅
(
ρ
u
)
]
\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = \rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} + \mathbf{u} \left[ \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) \right]
∇⋅(ρu⊗u)=ρ(u⋅∇)u+u[∇⋅(ρu)]
(2) 代入连续性方程
连续性方程为：
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
(
ρ
u
)
=
0
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
∂t∂ρ+∇⋅(ρu)=0
若流动为不可压缩（(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0)）或定常（(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0)），则 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)，此时对流项简化为：
∇
⋅
(
ρ
u
⊗
u
)
=
ρ
(
u
⋅
∇
)
u
\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = \rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}
∇⋅(ρu⊗u)=ρ(u⋅∇)u
(3) 得到非守恒形式
将展开后的对流项代回守恒形式，并假设密度恒定（(\rho) 为常数），动量方程变为：
ρ
(
∂
u
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
u
)
=
−
∇
p
+
∇
⋅
τ
+
f
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \mathbf{f}
ρ(∂t∂u+(u⋅∇)u)=−∇p+∇⋅τ+f
这就是非守恒形式的动量方程（又称Lagrangian形式或物质导数形式）。
3. 关键特点
-
物质导数：
方程左侧的 (\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}) 表示速度的物质导数，描述流体微元的加速度。 -
适用条件：
- 适用于不可压缩流动或密度变化可忽略的流动。
- 若密度变化显著（如可压缩流动），需保留守恒形式以确保数值稳定性。
-
物理意义：
非守恒形式直接体现牛顿第二定律（(F=ma)），即流体微元的加速度由压力梯度、粘性力和体积力共同驱动。
4. 与守恒形式的对比
| 特性 | 非守恒形式 | 守恒形式 |
|---|---|---|
| 数学基础 | 基于物质导数推导 | 基于控制体的积分守恒定律 |
| 数值稳定性 | 对可压缩流可能不稳定 | 更适合可压缩流和高马赫数问题 |
| 计算效率 | 对流项计算更简单 | 需要处理通量项（如 (\rho u^2)） |
| 适用场景 | 不可压缩流、低马赫数流动 | 可压缩流、激波捕捉 |
5. 典型应用示例
- 不可压缩流动（如泊肃叶流动、涡流模拟）：常用非守恒形式，因 (\nabla \cdot \mathbf{u} = 0) 天然满足。
- 可压缩流动（如超音速飞行器模拟）：必须使用守恒形式以正确捕捉激波和密度突变。
6. 注意事项
- 数值离散：非守恒形式在对流项离散时需注意数值耗散，可能需高阶格式（如WENO）减少误差。
- 边界条件：非守恒形式的压力边界条件处理可能更复杂，需与连续性方程耦合求解。
通过理解非守恒形式的推导和物理意义，可以更灵活地选择适合具体问题的CFD方程形式。