状态压缩dp
蒙德里安的梦想
求把 N×M 的棋盘分割成若干个 1×2 的长方形，有多少种方案。
例如当 N=2，M=4时，共有 5 种方案。当 N=2，M=3 时，共有 3 种方案。
如下图所示：
输入格式
输入包含多组测试用例。
每组测试用例占一行，包含两个整数 N 和 M。
当输入用例 N=0，M=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。
数据范围
1≤N,M≤11
输入样例：
1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0
输出样例：
1
0
1
2
3
5
144
51205
观察样例，我们可以发现，横放的方案数等于总方案数
我们考虑按列摆放，某列的各行用0和1表示摆放状态
如果某行是1，表示横放，并且向下一列伸出
如果某行是0，表示竖放，或者由前一列伸出
状态表示f[i][j]表示摆放第i列，状态为j时的方案数
状态转移f[i - 1][k] -> f[i][j]
例如第i列状态为0011可以由上一列0000或者1100转移
因此状态计算 f[i][j] = ∑f[i - 1][k]
初值f[0][0] = 1，其他为0
目标为f[m][0]
解释代码中的几个部分，第一个预处理所有状态的合法性
//预处理所有状态的合法性，即不能够出现连续奇数个0
//枚举所有的状态
for(int i = 0; i < 1 << n; i++) {
//每个状态的二进制位
st[i] = true;
//记录0的个数
int cnt = 0;
for(int j = 0; j < n; j++) {
//如果该位是1
if(((i >> j) & 1) == 1) {
//判断0的个数是否是奇数
if((cnt & 1) == 1) {
//是奇数
st[i] = false;
cnt = 0;
}
} else {
cnt ++;
}
}
//判断最高位为0的情况
if((cnt & 1) == 1) {
st[i] = false;
}
}
如果合并后的状态中出现了连续的奇数个0，则说明有无法通过竖放的方式填充的格子，此状态非法
第二个是状态计算
//初始化f[0][0] = 1，第一列状态为0时方案数为1
for(int i = 0; i < N; i++) {
for(int j = 0; j < M; j++) {
f[i][j] = 0;
}
}
f[0][0] = 1;
//状态计算
//枚举每一列
for(int i = 1; i <= m; i++) {
//枚举当前列的状态
for(int j = 0; j < 1 << n; j++) {
//枚举上一列的状态
for(int k = 0; k < 1 << n; k++) {
//判断两列状态合法(不出现重叠的1)
if((j & k) == 0 && st[j | k]) {
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
}
if((j & k) == 0 && st[j | k])这一行判断状态合法，条件一是不能出现重叠的1，合并后的状态如果不是0，则说明有重叠部分，如下图中左图
条件二是不能有连续的奇数个0，这个在上文中有过说明，使用预处理的结果即可 ，如下图中间图和右图
完整代码
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static final int N = 12;
static final int M = 1 << N;
static long f[][] = new long[N][M];
static boolean st[] = new boolean[M];
public static void main(String[] agrs) throws Exception {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(true) {
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
if(n == 0 && m == 0) {
break;
}
//预处理所有状态的合法性，即不能够出现连续奇数个0
//枚举所有的状态
for(int i = 0; i < 1 << n; i++) {
//每个状态的二进制位
st[i] = true;
//记录0的个数
int cnt = 0;
for(int j = 0; j < n; j++) {
//如果该位是1
if(((i >> j) & 1) == 1) {
//判断0的个数是否是奇数
if((cnt & 1) == 1) {
//是奇数
st[i] = false;
cnt = 0;
}
} else {
cnt ++;
}
}
//判断最高位为0的情况
if((cnt & 1) == 1) {
st[i] = false;
}
}
//初始化f[0][0] = 1，第一列状态为0时方案数为1
for(int i = 0; i < N; i++) {
for(int j = 0; j < M; j++) {
f[i][j] = 0;
}
}
f[0][0] = 1;
//状态计算
//枚举每一列
for(int i = 1; i <= m; i++) {
//枚举当前列的状态
for(int j = 0; j < 1 << n; j++) {
//枚举上一列的状态
for(int k = 0; k < 1 << n; k++) {
//判断两列状态合法(不出现重叠的1)
if((j & k) == 0 && st[j | k]) {
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
}
System.out.println(f[m][0]);
}
sc.close();
}
}
最短Hamilton路径
给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。
Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数 n。
接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]]）。
对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。
输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。
数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤
1
0
7
10^7
107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18
f[i][j] 表示所有从0号点走到j号点，走过的所有点是i的所有路径的最小值
例如i为101101表示除了第1个点和第4个点，其余点都走过了
状态计算根据倒数第二点来分类
如果倒数第二点i的状态是k的话
k到j的距离一定，则需要用从0到k的最小值加上k到j的值
0到k的最小值用状态表示为f[i - j所在点][k] + g[k][j]
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static final int N = 21;
static final int M = 1 << N;
static final int MAX_NUM = 2147483647 / 2;
static int[][] g = new int[N][M];
//f[i][j]表示从0走到j经过i这个状态的最小值(i用二进制表示经过了那些点)
static int[][] f = new int[M][N];
public static void main(String[] args) throws Exception{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int n = Integer.parseInt(br.readLine());
for(int i = 0; i < n; i++) {
String[] row = br.readLine().split(" ");
for(int j = 0; j < n; j++) {
g[i][j] = Integer.parseInt(row[j]);
}
}
//初始化f数组为正无穷
for(int i = 0; i < M; i++) {
for(int j = 0; j < N; j++) {
f[i][j] = MAX_NUM;
}
}
f[1][0] = 0;
//枚举所有状态
for(int i = 0; i < 1 << n; i ++) {
//枚举所有的目标点
for(int j = 0; j < n; j++) {
//i这个状态中j这一位是1也就是包含j这一点的才有意义
if(((i >> j) & 1) == 1) {
//枚举所有的经过的点
for(int k = 0; k < n; k++) {
//i - (1 << j)这个状态中包含k这一点才有意义
if((((i - (1 << j)) >> k) & 1) == 1) {
f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + g[k][j]);
}
}
}
}
}
System.out.println(f[(1 << n) - 1][n - 1]);
br.close();
}
}