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01分数规划

news 来源：原创 2025/6/29 9:18:32

好久没发博客了……浅浅复活一下，讲个冷门些的算法。

算法目的：选出k组ai,bi使得 $\frac{\sum ai }{\sum bi}$ 最大。

算法过程：

不妨考虑二分答案，那么答案的形式便是 $\frac{\sum ai }{\sum bi}$ $\geq k$ 的形式，则可通过移项转化为 $\sum ai - k*\sum bi\geq 0$ ，进一步的，我们可以将求和合并，则有 $\sum ai-k*bi\geq 0$ ，这便是二分检验的条件，只需挑出满足条件的k组即可，该算法考不出太新鲜的，至多是二分加优化。

那么我们来看一道例题

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

简化一下题意：选出任意组ai,bi使得 $\frac{\sum ai }{\sum bi}$ 最大，且 $\sum bi$ $\geq W$ 。那么看到该限制条件，只需在二分时使用01背包优化即可。最后输出为答案*1000向下取整。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n,w,a[maxn],b[maxn];
double f[maxn]; 
bool check(double mid){
	for(int i=1;i<=w;i++) f[i]=-1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=w;~j;j--){
			f[min(w,j+b[i])]=max(f[min(w,j+b[i])],f[j]+a[i]-mid*b[i]);
		}
	}
	return f[w]>=0;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>w;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i]>>a[i];
	double l=0,r=1e6;
	while(r-l>1e-4){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	cout<<(int)(1000*l)<<endl;
	return 0;
}