数学知识——矩阵乘法

使用矩阵快速幂优化递推问题

对于一个递推问题，如递推式的每一项系数都为常数，我们可以使用矩阵快速幂来对算法进行优化。
一般形式为：
$F_n=F_1\times A^{n-1}$
由于递推式的每一项系数都为常数，因此对于每一步的递推，$A$里面都是相同的常数。
对于$A^{n-1}$部分使用快速幂求解，根据$F_n$就能得到最终答案。

矩阵快速幂：

void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N])
{
    int temp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            for (int k = 0; k < N; k ++ )
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (ll)a[i][k] * b[k][j] % m) % m;
    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
while (k)
    {
        if (k & 1) mul(f, f, a);
        mul(a, a, a);
        k >>= 1;
    }

斐波那契数列的前n项和

大家都知道 Fibonacci 数列吧，$f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,\dots ,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$。
现在问题很简单，输入 $n$ 和 $m$，求 $f_n$的前 $n$ 项和 $S_n(modm)$。

输入格式

共一行，包含两个整数$n$ 和 $m$。

输出格式

输出前 $n$ 项和 $S_n(modm)$ 的值。

数据范围
$1\le n\le 2000000000,$
$1\le m\le 1000000010$

输入样例：

5 1000

输出样例：

12

我们有递推关系:
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
$S_n=S_{n-1}+f_n$
设$F_n=[f_n,f_{n+1},S_n]$，有$F_n\times A=F_{n+1}$，根据递推关系求解矩阵$A$。
$[f_n,f_{n+1},S_n]\times \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=[f_{n+1},f_{n+2},S_{n+1}]$

求解得到$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$F_1=[1,1,1]$，最终答案为$F_1\times A^{n-1}$，对于$A^{n-1}$部分采用快速幂来计算，时间复杂度为$O(logn\ast 3^3)$。

佳佳的斐波那契

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。

在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。

例如用 $S(n)$ 表示 Fibonacci 前 $n$ 项和 $modm$ 的值，即 $S(n)=(F_1+F_2+\dots +F_n)modm$，其中 $F_1=F_2=1,F_i=F_{i-1}+F_{i-2}$。

可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。

用 $T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+\dots +n{F}_n)modm$ 表示 Fibonacci 数列前 $n$ 项变形后的和 $modm$ 的值。

现在佳佳告诉你了一个 $n$ 和 $m$，请求出 $T(n)$的值。

输入格式

共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。

输出格式

共一行，输出 $T(n)$ 的值。

数据范围
$1\le n,m\le 2^{31-1}$

输入样例：

5 5

输出样例：

1

样例解释
$T(5)=(1+2\times 1+3\times 2+4\times 3+5\times 5)mod5=1$

我们有递推关系:
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
$S_n=S_{n-1}+f_n$
$T_n=T_{n-1}+n\ast f_n$
但是对于$T_n=T_{n-1}+n\ast f_n$，$f_n$的系数不为常数，所以无所用矩阵快速幂来优化。

令$P_n=n{S}_n-T_n$,那么有：
$P_n=(n-1)S_1+(n-2)S_2...+S_{n-1}$,
$P_{n+1}=n{S}_1+(n-1)S_2...+2S_{n-1}+S_n$,
$P_{n+1}-P_n=S_n$
于是，我们有以下三组递推关系：
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
$S_n=S_{n-1}+f_n$
$P_n=P_{n-1}+S_{n-1}$
每一组的系数都为常数，我们可以使用矩阵快速幂来优化。
设$F_n=[f_n,f_{n+1},S_n,P_n]$，有$F_n\times A=F_{n+1}$，根据递推关系求解矩阵$A$。
$[f_n,f_{n+1},S_n,P_n]\times \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]=[f_{n+1},f_{n+2},S_{n+1},P_{n+1}]$
根据递推关系，解出
$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
$F_1=[1,1,1,0],$ $F_n=F_1\times A^{n-1}$
解出来$S_n$和$P_n$，最终答案$T_n=n{S}_n-P_n$。
时间复杂度为$O(logn\ast 4^3)$。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 4;
int n, m;
void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
    int temp[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j < N; j ++ )
            for (int k = 0; k < N; k ++ )
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (ll)b[i][k] * c[k][j] % m) % m;
    memcpy(a, temp, sizeof temp);
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    int f[N][N] = {1, 1, 1, 0};
    int a[N][N] = {
        {0, 1, 0, 0},
        {1, 1, 1, 0},
        {0, 0, 1, 1},
        {0, 0, 0, 1}
    };
    int k = n - 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) mul(f, f, a);
        mul(a, a, a);
        k >>= 1;
    }
    cout << ((ll)n * f[0][2]% m - f[0][3] + m) % m << endl;
    return 0;
}