蓝桥杯-小明的彩灯(差分)

问题描述：

差分数组

1. 什么是差分数组？

差分数组 c 是原数组 a 的“差值表示”，其定义如下：

• c[0] = a[0]
• c[i] = a[i] - a[i-1] （i ≥ 1）

差分数组记录了相邻元素的差值。例如，原数组 a = [1, 3, 5, 2] 对应的差分数组为 c = [1, 2, 2, -3]。

2. 差分数组的优势

通过差分数组，可以将区间操作转换为两次单点操作：

• 若要将区间 [l, r] 的所有元素增加 k，只需执行：
  • c[l] += k
  • c[r+1] -= k
    这一操作的时间复杂度为 O(1)，彻底避免了遍历区间。

3. 还原原数组

对差分数组进行前缀和运算即可还原原数组：

• a[i] = c[0] + c[1] + ... + c[i]
  前缀和的本质是逐步累加差分值，恢复出原数组的实际数值。

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解题思路详解

步骤1：构建差分数组

1. 初始化差分数组 c，长度为 n+1（多一位用于处理右边界）。
2. 根据原数组 a 的相邻差值填充 c，确保 c[i] = a[i] - a[i-1]。

步骤2：处理区间操作

对于每个操作 [l, r, k]：

• 将 c[l] += k，表示从 l 开始的所有元素增加 k。
• 将 c[r+1] -= k，表示在 r+1 处抵消多余的 k，保证操作仅作用于 [l, r]。

步骤3：还原修改后的数组

通过前缀和还原最终的数组：

• 从 c[1] 开始，依次累加 c[i] += c[i-1]，最终 c[0...n-1] 即为修改后的原数组。

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代码：

    public static void main(String[] args) {
        //通过原数组计算 差分 数组
        //再通过计算出的 差分 数组做 数据操作，例如（要将[l,r]区间所有数组+1）就将c[l]+1 c[r+1]-1
        //对差分数组，做前缀和操作得到原数组
        //有一个坑，虽然数据都是在int范围内，但是会涉及到相加操作，可能会超出int范围，所以我们的差分数组应该设置为long
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        //在创建差分数组的时候长度要设置为a.length + 1这是很有必要的,防止数组越界 这个边界操作(c[r + 1] -= 1;)
        long[] c = new long[n + 1];
        a[0] = sc.nextInt();
        //初始化差分数组
        c[0] = a[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
            c[i] = a[i] - a[i - 1];
        }
//        System.out.println("原数组a:" + Arrays.toString(a));
//        System.out.println("差分数组c:" + Arrays.toString(c));
        //要将[l,r]区间所有数组+c
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int l = sc.nextInt();
            int r = sc.nextInt();
            int sum = sc.nextInt();

            c[l - 1] += sum;
            c[r] -= sum;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            //这里复原的原理其实很简单
            // 例如对 1 2 3 4 5的[2,4]区间做+1操作，
            // 由于差分数组记录的是第i个数比第i-1个数大多少，之前i比i-1大1，+1操作之后，就是i比i-1大2了，
            // 但是由于我们要求在到[l,r]区间，所以r之后的差分就得还原 所以再做一个-1操作还原
            // 所以还原的时候，就能得到题目要求的数组了
            c[i] += c[i - 1];
        }

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (c[i] < 0) {
                System.out.print(0 + " ");
            } else
                System.out.print(c[i] + " ");

        }
    }