定积分__
practice makes perfect
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若被积函数在积分区间上是可积的，那么变限积分函数在这个区间上是连续的，变限积分在积分区间上是可导的，并且导数等于被积函数。
不定积分：被积函数在某区间上连续，原函数存在。被积函数在区间上处处有定义，且存在第一类间断点或无穷间断点，在这个区间上原函数不存在。被积函数在某区间上存在振荡间断点，原函数可能存在。
定积分：被积函数连续，定积分存在。被积函数连续，变限积分可导，并且变限积分的导数就是被积函数。被积函数在区间上有界（没有无穷间断点），且只有有限个间断点（第一类间断点或振荡间断点），定积分也存在。
可以发现，被积函数在某区间上连续，不定积分存在，定积分也存在，变限积分可导，连续，变限积分的导数等于被积函数。定积分的限制条件没有不定积分那么严格，可能本质上就是因为单个点不影响面积的计算。
变限积分的求导的公式，
F
(
x
)
=
∫
α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
t
)
d
t
,
F
′
(
x
)
=
f
[
β
(
x
)
]
β
′
(
x
)
−
f
[
α
(
x
)
]
α
′
(
x
)
F(x)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt,F'(x)=f[\beta (x)]\beta '(x)-f[\alpha {(x)}]\alpha '(x)
F(x)=∫α(x)β(x)f(t)dt,F′(x)=f[β(x)]β′(x)−f[α(x)]α′(x)
23
∫ 0 0 f ( t ) d t = 0 \int_0^0f(t)dt=0 ∫00f(t)dt=0
24
F ( x ) = ∫ t a n x x 2 x f ( t ) d t = x ∫ t a n x x 2 f ( t ) d t F(x)=\int_{tanx}^{x^2}xf(t)dt=x\int_{tanx}^{x^2}f(t)dt F(x)=∫tanxx2xf(t)dt=x∫tanxx2f(t)dt
25
形如
∫
0
x
f
(
x
−
t
)
d
t
\int _0^{x}f(x-t)dt
∫0xf(x−t)dt
令
x
−
t
=
u
x-t=u
x−t=u, 换元处理。
26
[ ∫ 0 x s i n t t + c d t ] ′ = s i n x x + c [\int_0^x\frac{sint}{\sqrt{t+c}}dt]'=\frac{sinx}{\sqrt{x+c}} [∫0xt+csintdt]′=x+csinx
27
lim
x
→
0
+
∫
0
x
u
e
x
−
u
d
u
=
lim
x
→
0
+
∫
0
x
u
e
−
u
d
u
\lim_{x\to 0^{+}}\int_0^{x}\sqrt{u}e^{x-u}du=\lim_{x\to0^{+}}\int_0 ^{x}\sqrt{u}e^{-u}du
x→0+lim∫0xuex−udu=x→0+lim∫0xue−udu
变限积分可能在洛必达背景下考察。
28
无穷积分就是积分上下限里面至少有一个为无穷的变限积分，也有可能积分上下限都是无穷。
∫
1
x
2
−
a
2
d
x
=
1
2
a
l
n
∣
x
−
a
x
+
a
∣
+
C
,
a
>
0
\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C,a>0
∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C,a>0
∫
1
x
2
+
a
2
d
x
=
1
a
a
r
c
t
a
n
x
a
+
C
,
a
>
0
\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C,a>0
∫x2+a21dx=a1arctanax+C,a>0
下面的 a>0 就省略不写了。
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
a
r
c
s
i
n
x
a
+
C
∫
1
x
2
+
a
2
d
x
=
l
n
∣
x
+
x
2
+
a
2
∣
+
C
∫
1
x
2
−
a
2
d
x
=
l
n
∣
x
+
x
2
−
a
2
∣
+
C
\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\\[1cm] \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\\[1cm] \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C
∫a2−x21dx=arcsinax+C∫x2+a21dx=ln∣x+x2+a2∣+C∫x2−a21dx=ln∣x+x2−a2∣+C
正无穷的时候是 0 ，负无穷的时候是
π
\pi
π ，等于零的时候是
π
2
\frac{\pi}{2}
2π
29
计算反常积分时，我们首先考察瑕点，假设存在瑕点，以瑕点为分界点，将定积分分开，否则直接计算定积分。此题存在瑕点，但是瑕点是积分上限，故对定积分的值没有影响。
30
∫ − 1 x 2 d x = 1 x + C \int\frac{-1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C ∫x2−1dx=x1+C
31
∫
1
+
∞
d
x
x
(
1
+
x
)
=
∫
1
+
∞
(
1
x
−
1
1
+
x
)
d
x
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x(1+x)}=\int_1^{+\infty}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx
∫1+∞x(1+x)dx=∫1+∞(x1−1+x1)dx
lim
x
→
+
∞
1
x
(
1
+
x
)
∼
lim
x
→
+
∞
1
x
2
,
2
>
1
所以收敛
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x(1+x)}\sim\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2},2>1\text{ 所以收敛}
x→+∞limx(1+x)1∼x→+∞limx21,2>1 所以收敛
∫
a
+
∞
1
x
p
d
x
,
p
>
1
收敛
\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx,p>1 \text{ 收敛}
∫a+∞xp1dx,p>1 收敛
32
lim
x
→
0
1
x
+
x
2
∼
lim
x
→
0
1
x
和取低阶,1=1 ，所以发散
\lim_{x\to0}\frac{1}{x+x^2}\sim\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\text{ 和取低阶,1=1 ，所以发散}
x→0limx+x21∼x→0limx1 和取低阶,1=1 ，所以发散
∫
0
a
1
x
p
d
x
,
p
<
1
收敛
\int_0^a\frac{1}{x^p}dx,p<1 \text{ 收敛}
∫0axp1dx,p<1 收敛
∫
0
1
1
x
(
x
+
1
)
d
x
=
∫
0
1
(
1
x
−
1
x
+
1
)
d
x
\int_0^1\frac{1}{x(x+1)dx}=\int_0^1(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx
∫01x(x+1)dx1=∫01(x1−x+11)dx
33
∫ a + ∞ 1 x p d x , p > 1 收敛 \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx,p>1 \text{ 收敛} ∫a+∞xp1dx,p>1 收敛
34
x = 0 x=0 x=0 不是 f ( x ) = x 3 1 + x 4 f(x)=\frac{x^3}{1+x^4} f(x)=1+x4x3 的瑕点，所以 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞f(x)dx 与 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx ∫1+∞f(x)dx 具有相同的敛散性。