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P8720 [蓝桥杯 2020 省 B2] 平面切分

news 来源：原创 2025/6/20 18:27:57

题目描述

平面上有 N 条直线, 其中第 i 条直线是 y=Ai⋅x+Bi 。

请计算这些直线将平面分成了几个部分。

输入格式

第一行包含一个整数 N。

以下 N 行, 每行包含两个整数 Ai,Bi。

输出格式

一个整数代表答案。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

对于 50% 的评测用例, 1≤N≤4,−10≤Ai,Bi≤10。

对于所有评测用例, 1≤N≤1000,−10^5≤Ai,Bi≤10^5。

蓝桥杯 2020 第二轮省赛 B 组 I 题

解题思路：

这题我们首先需要定义一个包含两个元素的对象typedef pair<int int >PII;和typedef pair<double double>PDD;，这两个PII一个用来存储每次输入斜线的斜率k和截距b，PDD则是用来存储新添加的线的焦点坐标线x,y, 其次就是定义set<PII>lines,进行出入将输入的的k,b通过lines.insert(k,b)进行存储，“这里利用set容器的去重判断是否有不重复的线加入，不重复的线必定相交”，这就进入到Get_point 函数中进行
// 函数：计算当前直线与已存在的直线交点的个数
int get_point(int k, int b) {
    set<PDD> point;  // 用于存储当前直线与其他直线的交点 (x, y)
    
    // 遍历所有已存在的直线
    for (it = lines.begin(); it != lines.end(); it++) {
        int K = it->first;  // 已存在直线的斜率
        int B = it->second;  // 已存在直线的截距

        // 如果两条直线的斜率不同，则计算交点
        if (K != k) {
            double x = 1.0 * (B - b) / (k - K);  // 计算交点的 x 坐标
            double y = 1.0 * k * x + b;  // 计算交点的 y 坐标
            point.insert({x, y});  // 将交点加入集合，避免重复
        }
    }

    // 返回交点的数量
    return point.size();
}
如果有新的交点最终的平面被划分为：新的交点个数+1;依次累加

C++ STL（标准模板库）中的 set 容器与迭代器 的使用。以下是对其中涉及到的知识点：

1. typedef 的使用

typedef 是 C++ 中的一个关键字，用于给现有的数据类型定义一个新的名字（别名）。这在代码中非常常见，尤其是在类型较长或者复杂时，使用 typedef 可以提高代码的可读性和简洁性。

示例：typedef pair<double, double> PDD;
pair<double, double>：是 C++ STL 中的一个模板类，它用来存储一对值，通常用于表示关联数据，如 (x, y) 坐标或 (key, value) 键值对。

double 类型表示浮点数，pair<double, double> 存储的是两个浮点数。

pair 是一个模板类，它可以接受任意类型作为参数，表示一对值。pair<double, double> 表示存储两个 double 类型的值。
typedef pair<double, double> PDD;：给 pair<double, double> 这个类型起了一个别名，叫做 PDD。以后我们可以直接使用 PDD 来代替 pair<double, double>，使代码更加简洁和易于理解。

例子：
PDD point = {3.5, 4.2};  // 创建一个 PDD 类型的变量，表示点 (3.5, 4.2)
cout << point.first << ", " << point.second << endl;  // 输出 3.5, 4.2
示例：typedef pair<int, int> PII;
pair<int, int>：同样是 C++ STL 中的一个 pair 类型，表示一个包含两个 int 类型元素的对象。这里的 int 类型通常用于表示整数，比如直线的斜率 k 和截距 b。
typedef pair<int, int> PII;：给 pair<int, int> 这个类型起了一个别名，叫做 PII。以后我们可以直接使用 PII 来代替 pair<int, int>，简化代码。

例子：
PII line = {2, 3};  // 创建一个 PII 类型的变量，表示直线 y = 2x + 3
cout << line.first << ", " << line.second << endl;  // 输出 2, 3
2. set 容器

set 是 C++ STL（标准模板库）中的一个关联容器，它存储唯一的元素，并且这些元素会按照某种排序规则（默认是升序）自动排序。set 容器不允许有重复元素。
基本特性：

自动排序：set 内部的元素会根据 operator< （默认）或者自定义的比较规则进行自动排序。

元素唯一性：set 中的元素不能重复，若尝试插入重复的元素，插入操作将会失败。
用法：在这段代码中，set<PII> 用来存储一组直线的斜率和截距，PII 是 pair<int, int> 类型，即每个元素是一个表示直线的 (k, b) 对。
set<PII> lines;  // 声明一个 set 容器，用于存储 (k, b) 形式的直线
通过 insert 方法将新的直线加入 set 中：
lines.insert({2, 3});  // 插入直线 y = 2x + 3
lines.insert({1, 1});  // 插入直线 y = x + 1
插入时，set 会自动对直线的 (k, b) 进行排序，按照斜率 k 和截距 b 的升序排列。

由于 set 中的元素是唯一的，如果你尝试插入一个重复的 (k, b)，插入操作将会失败（即元素不会被加入）。
3. 迭代器：set<PII>::iterator it;

iterator 是一种遍历 C++ STL 容器的对象，用于访问容器中的元素。
set<PII>::iterator it 声明了一个迭代器 it，用于遍历 set<PII> 容器中的元素。这里，it 会指向 set 中每一个存储的 PII 类型的元素（即 pair<int, int>）。
迭代器的常见用法是通过 it 来访问容器中的元素，通常使用 begin() 获取指向容器第一个元素的迭代器，使用 end() 获取指向容器最后一个元素之后的位置的迭代器。

例如：
for (it = lines.begin(); it != lines.end(); ++it) {
    cout << it->first << ", " << it->second << endl;  // 输出每条直线的 k 和 b
}
it->first 表示当前直线的斜率 k。

it->second 表示当前直线的截距 b。
总结

typedef pair<double, double> PDD; 和 typedef pair<int, int> PII; 通过 typedef 给 pair 类型起了别名，使得代码更简洁，方便表示坐标和直线的斜率与截距。

set<PII> 是一个 set 容器，存储 PII 类型的元素，每个元素表示一条直线的斜率和截距。set 容器保证元素的唯一性，并且会自动按升序排列。

set<PII>::iterator it 是用于遍历 set<PII> 容器的迭代器，能够按顺序访问每条直线的斜率和截距。

这些概念和容器在实际编程中非常常见，能够帮助我们高效地处理和存储一组数据，尤其是需要自动排序且不允许重复的场景。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 宏定义和类型别名
#define rep(x,y,z),for(int x=y;x<=z;x++)  // 用于简化循环结构
typedef pair<double, double> PDD;       // 用于表示交点的坐标对 (x, y)
typedef pair<int, int> PII;             // 用于表示直线的斜率 (k) 和截距 (b)
set<PII> lines;  // 用于存储平面上的所有直线，每个元素为一条直线的 (k, b)
set<PII>::iterator it;  // 用于遍历 'lines' 集合
int ans = 1;  // 初始区域数，平面没有直线时为 1
int n, k, b;  // n 表示直线数量，k 和 b 分别表示当前直线的斜率和截距

// 函数：计算当前直线与已存在的直线交点的个数
int get_point(int k, int b) {
    set<PDD> point;  // 用于存储当前直线与其他直线的交点 (x, y)
    
    // 遍历所有已存在的直线
    for (it = lines.begin(); it != lines.end(); it++) {
        int K = it->first;  // 已存在直线的斜率
        int B = it->second;  // 已存在直线的截距

        // 如果两条直线的斜率不同，则计算交点
        if (K != k) {
            double x = 1.0 * (B - b) / (k - K);  // 计算交点的 x 坐标
            double y = 1.0 * k * x + b;  // 计算交点的 y 坐标
            point.insert({x, y});  // 将交点加入集合，避免重复
        }
    }

    // 返回交点的数量
    return point.size();
}

int main() {
    cin >> n;  // 输入直线的数量

    // 循环处理每一条直线
    while (n--) {
        cin >> k >> b;  // 输入当前直线的斜率 k 和截距 b

        int cnt = lines.size();  // 获取当前已存在的直线数
        lines.insert({k, b});  // 将当前直线加入到集合中

        // 如果直线集合的大小发生变化，说明当前直线是新加入的
        if (cnt != lines.size()) {
            // 更新区域数：新增的直线会通过交点增加区域数
            ans += get_point(k, b) + 1;  // 增加的区域数 = 交点数 + 1
        }
    }

    // 输出最终的区域数
    cout << ans;
    return 0;
}