P1883 【模板】三分 | 函数

题目描述

给定 n 个二次函数 f1​(x),f2​(x),…,fn​(x)（均形如 ax2+bx+c），设 F(x)=max{f1​(x),f2​(x),...,fn​(x)}，求 F(x) 在区间 [0,1000] 上的最小值。

输入格式

输入第一行为正整数 T，表示有 T 组数据。

每组数据第一行一个正整数 n，接着 n 行，每行 3 个整数 a,b,c，用来表示每个二次函数的 3 个系数，注意二次函数有可能退化成一次。

输出格式

每组数据输出一行，表示 F(x) 的在区间 [0,1000] 上的最小值。答案精确到小数点后四位，四舍五入。

说明/提示

对于 50% 的数据，n≤100。

对于 100% 的数据，T<10， n≤104，0≤a≤100，∣b∣≤5×103，∣c∣≤5×103。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
int a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
int n;

double F(double x) {
    double res = -1e18;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = max(res, a[i]*x*x + b[i]*x + c[i]);
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
        }

        double l = 0.0, r = 1000.0;
        while (r - l > 1e-9) {  // 保证精度
            double lmid = l + (r - l) / 3;
            double rmid = r - (r - l) / 3;
            if (F(lmid) < F(rmid))
                r = rmid;
            else
                l = lmid;
        }

        printf("%.4f\n", F(l));
    }

    return 0;
}

F(x) 表示：在每个 x 位置上，取所有函数中值最大的那一个

由于 a≥0，每个函数是凹的。它们的最大值组成的函数F(x)还是凹的

F(x) 先下降、后上升

三分法的思路是：

• 找出两个三分点 lmid, rmid

• 比较 F(lmid) 和 F(rmid)

• 因为 F(x) 是凹函数（先降后升），

  • 如果 F(lmid) < F(rmid)，说明最小值在左侧

  • 否则在右侧

• 不断缩小区间 l 到 r

直到区间极小（小于 10^-9），我们认为找到了极小值点。

由于浮点数存在精度问题，当进行多次计算时，会有非常微小的误差。如果使用 l <= r，在接近正确解的时候，l 和 r 可能永远不完全相等，所以会陷入死循环。

• 精度终止条件：使用 r - l > epsilon（比如 1e-9）可以确保在精度范围内停止，不依赖于 l 和 r 是否恰好相等。只要它们之间的差距小到几乎无法再缩小，就认为已经找到了最优解