[DP]多重背包

多重背包

问题描述：给定$n$种物品和一个体积为$V$的背包，第$i$种物品数量为$m_i$，体积为$c_i$，价值为$w_i$。如何装填背包使总价值最大？

通过直接求解，转移方程式：$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-k\times c[i]]+k\times w[i]),k\in [1,\min (m[i],\frac{j}{c[i]})]$。复杂度$O(V\sum _{i=1}^n{m}_i)$，超时。

实际上，多重背包属于$0/1$背包的推广，易得其可转换为$0/1$背包问题：将第$i$种物品视为$m_i$种独立(不同)的物品，并按$0/1$背包求解。定义状态数组$dp[i][j]$，表示将前$i$个物品放入容积为$j$的背包时的最大价值。实际上复杂度不变，仍为$O(V\sum _{i=1}^n{m}_i)$，超时。

int dp[n+1][V+1],c[n],w[n],m[n];
int MultiplePack(){
    for(int i=0;i<=n;i++) dp[i][0]=0;
    for(int i=0;i<=V;i++) dp[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=V;j++)
            for(int k=1;k<=m[i]&&k*c[i]<=j;k++)
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
    return dp[n][V];
}

二进制优化

原理：倍增。任意十进制整数均可使用2的幂次经过有限次相加得到，以$2^i(i\in [0,\lceil {\log }_2{m}_i\rceil +1])$顺次拆分，最后可能有一个余数。因此使用倍增即可将第$i$种物品变为${\log }_2{m}_i$个，每个物品体积为$2^k\times c_i$，价值为$2^k\times w_i$。

以下为二进制拆分代码，之后使用new_n、new_c、new_w以$0/1$背包求解即可。复杂度$O(V\sum _{i=1}^n{\log }_2{m}_i)$。

int new_n=0,new_c[N],new_w[N];
for(int i=1;i<=n;i++){//遍历每种物品
    for(int j=1;j<=m[i];j<<=1){//遍历每种物品的个数
        new_n++;
        m[i]-=j;
        new_c[new_n]=j*c[i];
        new_w[new_n]=j*w[i];
    }
    if(m[i]){//若有余数
        new_n++;
        new_c[new_n]=m[i]*c[i];
        new_w[new_n]=m[i]*w[i];
    }
}

单调队列优化