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初识数据结构——算法效率的“两面性”：时间与空间复杂度全解析

news 2025/7/15 9:08:49

📊 算法效率的“两面性”：时间与空间复杂度全解析

1️⃣ 如何衡量算法好坏？

举个栗子🌰：斐波那契数列的递归实现

public static long Fib(int N) {
    if(N < 3) return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

问题：这个算法像“树懒”一样慢！为什么？
答案：因为它重复计算了大量子问题，时间复杂度高达O(2^N)！

直观感受：为什么递归这么慢？
试算Fib(5)的执行过程：

Fib(5)
├── Fib(4)
│   ├── Fib(3)
│   │   ├── Fib(2)
│   │   └── Fib(1)
│   └── Fib(2)
└── Fib(3)
    ├── Fib(2)
    └── Fib(1)
惊人发现：

Fib(3)被计算了2次

Fib(2)被计算了3次

当N=20时，Fib(1)会被计算6765次！

2️⃣ 时间复杂度：算法的“速度表”⏱️

📌 核心思想

基本操作次数决定算法速度
大O表示法：抓主要矛盾（最高阶项）

🧮 大O三定律

常数变1：F(N)=2N+10 → O(N)
只留最高阶：O(N² + N) → O(N²)
去除系数：O(2N) → O(N)

🌟 经典例题分析

代码示例	执行次数	时间复杂度	类比
双重循环	N² + 2N +10	O(N²)	全班同学两两握手🤝
单循环+固定循环	2N + 10	O(N)	点名签到📝
二分查找	log₂N	O(logN)	对折纸找名字📜
斐波那契递归	2^N	O(2^N)	细胞分裂爆炸增长💥

3️⃣ 空间复杂度：算法的“储物柜”🗄️

📌 核心思想

临时变量数量决定内存占用
递归深度=空间复杂度

🧮 冒泡排序的空间复杂度分析：为什么是O(1)？

## 🔍 冒泡排序
```java
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;                  // 变量1
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);         // 临时变量在Swap内
                sorted = false;                // 修改变量1
            }
        }
        if (sorted == true) break;
    }
}

🧳 实例对比

变量名	类型	数量	生命周期	是否随输入规模变化
end	int	1	外层循环	❌ 固定4字节
sorted	boolean	1	每次外层循环	❌ 固定1字节
i	int	1	内层循环	❌ 固定4字节
Swap	临时变量 int	1	交换瞬间	❌ 固定4字节