【算法竞赛】dfs+csp综合应用（蓝桥2023A9像素放置）
目录
一、 题目
二、思路
（1）算法框架选择
（2）剪枝策略
具体来说就是：
三、代码
(1) 数据读取与初始化
(2) 检查当前填充是否符合要求
(3) 递归 DFS 进行填充
(4) 读取输入 & 调用 DFS
(5) 完整代码
一、 题目
9.像素放置 - 蓝桥云课
【将题目翻译过来就是】：
该游戏基于 n × m 的网格棋盘进行，每个网格可以是白色或黑色，并且某些网格内标注了数字 x（0 ≤ x ≤ 9）。
核心规则：
-
每个带数字
x的网格周围 8 个相邻格子（上下左右 + 左上、左下、右上、右下）中，必须恰好有x个格子被填充为黑色。 -
其余未标注数字的网格可以自由填充。
-
最终输出符合条件的填充方案，白色格子用
0表示，黑色格子用1表示。
二、思路
这道题本质上是一个约束满足问题（CSP），每个数字格子对其九宫格区域内的黑色格子数施加了严格约束，我们需要在满足所有约束的条件下找到唯一的合法解，个人认为这个问题的挑战在于：
-
所有约束相互关联，修改一个格子可能影响多个数字区域
-
需要同时处理正向推导（根据已知约束确定颜色）和反向验证（尝试填充后检查约束）
-
必须确保解的唯一性
（1）算法框架选择
我们采用DFS框架，但与我们一般用传统DFS解题的区别在于：
-
非路径式搜索：不是寻找路径，而是构建完整的二维状态
-
顺序填充：按行优先顺序逐个填充格子（0,0）→（0,1）→...→（n-1,m-1）
-
随时验证：在填充过程中随时验证已确定的约束
（2）剪枝策略
当处理到格子（x,y）时，其左上方的格子（x-1,y-1）的后续填充操作不会再改变该格子的状态，这其实也就是说：
-
在填充（x,y）后，必须立即验证（x-1,y-1）的约束
-
当处理到行末（y=m-1）时，还需验证正上方格子（x-1,y）的约束
这种剪枝策略基于"最早失败"原则——一旦发现局部约束不满足，立即停止当前搜索路径，可以比较有效的减少时间复杂度
具体来说就是：
| 当前处理位置 | 必须验证的约束位置 |
|---|---|
| 非行末（y<m-1） | （x-1,y-1） |
| 行末（y=m-1） | （x-1,y-1）和（x-1,y） |
弄明白了这两个问题，其实这个问题就比较轻松了，核心就是如何实现约束
三、代码
(1) 数据读取与初始化
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N = 15;
int n, m;
char map[MAX_N][MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N]; // 存储填色方案
-
由于
n, m ≤ 15，可以使用15 × 15的二维数组存储棋盘数据。 -
map[][]用于存储输入的棋盘布局。 -
f[][]用于存储填充方案（0代表白色，1代表黑色）。
(2) 检查当前填充是否符合要求
bool check(int x, int y) {
if (map[x][y] == '_') return true; // 没有限制的网格，直接返回 true
int num = map[x][y] - '0';
int cnt = 0; // 统计周围黑色格子的数量
for (int i = -1; i <= 1; i++) {
for (int j = -1; j <= 1; j++) {
int newX = x + i, newY = y + j;
if (newX < 0 || newX >= n || newY < 0 || newY >= m) continue; // 越界检查
if (f[newX][newY] == 1) cnt++; // 统计黑色格子
}
}
return cnt == num; // 若黑色格子数量符合 `x`，则返回 true
}
-
遍历
3×3的范围，统计黑色格子数量。 -
若符合
x约束，返回true，否则返回false。
(3) 递归 DFS 进行填充
void dfs(int x, int y) {
if (x == n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) cout << f[i][j];
cout << endl;
}
return;
}
// 计算下一步的坐标
int nextX = (y == m - 1) ? x + 1 : x;
int nextY = (y == m - 1) ? 0 : y + 1;
// 先尝试填黑色
f[x][y] = 1;
if ((x == 0 || y == 0 || check(x-1, y-1)) && (y == m - 1 || check(x-1, y)))
dfs(nextX, nextY);
// 尝试填白色
f[x][y] = 0;
if ((x == 0 || y == 0 || check(x-1, y-1)) && (y == m - 1 || check(x-1, y)))
dfs(nextX, nextY);
}
-
递归填充每个网格，并在
x == n时输出方案。 -
由于每个格子可以填
0或1，因此分别尝试后递归调用dfs。 -
在填充后，检查左上角及已填充区域是否仍满足
x约束。
(4) 读取输入 & 调用 DFS
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
scanf(" %c", &map[i][j]); // 读取地图数据
}
}
dfs(0, 0); // 递归填充
return 0;
}
-
读取棋盘信息，并调用
dfs(0,0)开始填充。 -
由于
scanf(" %c")前有空格，可自动跳过空白符（空格、换行）。
(5) 完整代码
//每个格子都要填到，但是可能重复访问，比如先填黑色，再填白色
//如何解决重复访问且保证不会死循环：按顺序遍历格子
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m;
char map[15][15];
int f[15][15];//填色方案
bool check(int x,int y)
{
if(map[x][y]=='_') return true;
else
{
int num=map[x][y]-'0';
int cnt=0;//涂黑的个数
for(int i=-1;i<=1;i++)
{
for(int j=-1;j<=1;j++)
{
int newx=x+i,newy=y+j;
if(newx<0||newx>=n||newy<0||newy>=m) continue;
if(f[newx][newy]==1) cnt++;
}
}
if(cnt==num) return true;
else return false;
}
}
void dfs(int x,int y)//剩余的可以填黑色的方格数,已经填过的方格数
{
//按逐行逐列的顺序填充
//全部填充完
if(x==n)
{
//检查最后一行是否全满足条件
//（还剩最后一行没有检查）
for(int y=0;y<m;y++)
{
if(!check(n-1,y)) return;//该方案不符合条件
}
//输出符合条件的方案
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<m;j++) cout<<f[i][j];
cout<<endl;
}
return;
}
//每次填充完当前格子检查左上方格子是否合格
//因为它的状态不会再被影响了，已经固定了
//到达最后一列的情况要特殊判断，不仅要判断左上方还要判断上方，还涉及到换行
if(y==m-1)
{
//填黑色
f[x][y]=1;
//第一行不用检查，第一列只用检查上方
if(x==0||check(x-1,y-1)&&check(x-1,y)||y==0&&check(x-1,y)) dfs(x+1,0);//换行
//填白色
f[x][y]=0;
if(x==0||check(x-1,y-1)&&check(x-1,y)||y==0&&check(x-1,y)) dfs(x+1,0);//换行
}
//最后一列之前只用检查左上方
else
{
//填黑色
f[x][y]=1;
if(x==0||y==0||check(x-1,y-1)) dfs(x,y+1);
//填白色
f[x][y]=0;
if(x==0||y==0||check(x-1,y-1)) dfs(x,y+1);
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)
{
//scanf前面加空格读换行
for(int j=0;j<m;j++) cin>>map[i][j];
}
dfs(0,0);
return 0;
}