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[dp4_路径问题] 下降路径最小和 | 最小路径和 | 地下城游戏

news 来源：原创 2025/6/24 3:56:59

1.下降路径最小和

题解

2.最小路径和

题解

3.地下城游戏

题解

做算法题的时候，谨记图画得越详细越好，思路想的越清晰越好，然后再用代码实现一下就好啦

1.下降路径最小和

链接：931. 下降路径最小和

给你一个 n x n 的方形整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

题解

给一个nxn矩阵，让返回从第一行下降到最后一行的最小和
如果当前位置是(row, col) 的下一个元素应当是

(row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 中选一个。

1.状态表示

经验 + 题目要求
dp[i][j] 表示：到达 [i][j] 位置时，最小的下降路径

2.状态转移方程

根据最近一步，划分问题
到达[i][j] 位置有三种情况，从[i-1][j-1]，[i-1][j]，[i-1][j+1]任意一个位置都可以到。

但是我们要找的是到达 [i][j] 最小路径，那 [i-1][j-1]，[i-1][j]，[i-1][j+1]一定要是最小。

而dp[i][j] 表示：到达 [i][j] 位置时，最小的下降路径。然后在加上[i][j]本身的值。所以状态转移方程为

dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])+m[i][j]
保证最小，就保证之前的每一步都是最小的，然后再加上这一步就好啦
就像我们做事一样，做好当下就好了，这样之后也一定会是好的~

3.初始化

如果我们开辟和原数组一样大小的dp表，第一行和第一列和最后一列填表的时候都会越界。

因此dp表可以多开一行多开两列。

虚拟节点里面的值，要保证后面填表的结果是正确的
下标的映射

虚拟节点的值应该放什么呢。

先不考虑多加的行和列。
没有这些的话，考虑这些填表越界的格子应该填多少。
先看第一行，从第一行开始到达第一行当前位置最小下降路径和，此时是没有选择的，只能是自己本身的值。

正好代入状态转移方程是没问题的，因此第一行虚拟节点的值应该填0。

再看第一列和最后一列，如果第一列和最后一轮还是0的话，可不可以？
如果第一列和最后一列是0的话，我们要的是三者中的最小值
在填表的时候就影响到上面经过计算得到的正确结果，因此第一行和第一列不能是0，我们可以给一个+∞。
因为dp表多加一行两列整是往右下移动一位的。

填表的时候要从dp表找到原始矩阵的值，必须i-1，j-1。

4.填表顺序

从上到下填写每一行，每一行从左往右

5.返回值

找到最后一行的最小值

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) 
    {
        int m=matrix.size(),n=matrix[0].size();
        //多两列哦
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+2,0));
        //因为每行是要选择最小值，所以两列要初始化为无穷大
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            dp[i][0]=dp[i][n+1]=INT_MAX;
        }

        //填表
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]),dp[i-1][j+1])
+matrix[i-1][j-1]; 
        //不可以三个min
        //注意 下表映射
                //遍历 处理 上一行的-->推出这一行的
            }
        }
        int ret=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            ret=min(ret,dp[m][j]);
        }
        return ret;
    }
};

2.最小路径和

链接：64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

题解

求左上角到右上角最小路径和。
注意只能向下向右移动！

1.状态表示

经验 + 题目要求
dp[i][j] 表示：到达 [i][j] 位置时，最小路径和

2.状态转移方程

根据最近一步，划分问题

到达[i][j]有两种情况，[i-1][j]，[i][j-1]都可以到，但是我们要找的是到达 [i][j] 最小路径

那[i-1][j]，[i][j-1]一定要是最小。
而dp[i][j] 表示：到达 [i][j] 位置时，最小的下降路径。

然后在加上[i][j]本身的值。所以状态转移方程为

dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+g[i][j]

3.初始化

填表时保证不越界

如果我们开辟和原数组一样大小的dp表，第一行和第一列填表的时候都会越界。

因此dp表可以多开一行一列。

虚拟节点里面的值，要保证后面填表的结果是正确的
下标的映射

虚拟节点的值应该放什么呢。

先不考虑多加的行和列。没有这些的话，考虑这些填表越界的格子应该填多少。
先看第一个格子，第一个格子的意思是dp[0][0]表示达到[0][0]位置的最小值，那没得选就是它本身也就是之前矩阵g[0][0]的值
这个格子的值是上一个格子和左边格子的最小值在加上自己本身

因此第一个格子上面和左边虚拟格子我们给0

剩下的虚拟格子也给0吗？

不行的。如果是0，那这个虚拟格子里的值就会参与取最小值的运算。
会导致填表错误。因此把剩下格子设置为+∞，只把[0][1]和[1][0]位置设置为0就好了。

当前你也可以直接把第一行和第一列初始化，但是用的更多的还是多开一行一列。

如果做的多，你会发现求最小值，就是dp表先给+∞，仅修改几个位置的值就可以了。

同样求最大值，dp表先给-∞，然后修改几个位置的值就可以了。

4.填表顺序

从上到下填写每一行，每一行从左往右

5.返回值

多开一行一列右下角就变成[m][n]，所以返回dp[m][n]

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) 
    {
        int m=grid.size(),n=grid[0].size();
//min
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[0][1]=dp[1][0]=0;//保证第一个格子起始位置的合理性

        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
                //注意下标的映射
            }
        }
        return dp[m][n]; 
    }
};

3.地下城游戏

链接： 174. 地下城游戏

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

题解

骑士要从左上角出发到右下角救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。
如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
骑士每次只能向左向右移动。骑士每到一个格子要么就是减去健康点、要么加上健康点、要么不增不加。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数

包括骑士进入的左上角房间，以及公主被监禁的右下角房间。(虚拟化）
也就是说到达右下角救公主也可能减去健康点。
如下面例子，第一个格子是-2，我们可以给个3 ，但是走到-3，骑士就死了。
我们也就知道给3不行，然后就给个6，走到右下角骑士也死了也是不行的。

因此最终给个7才真正救出公主。

可以抽象理解为，我就是要走一个得结果为一个最小负数的路径，这样求得是他至少需要的健康点数

1.状态表示

经验 + 题目要求

经验我们有两个，1.以某个位置为结尾，巴拉巴拉。 2.以某个位置为起点，巴拉巴拉。

以某个位置为结尾，巴拉巴拉
dp[i][j] 表示：从起点出发，到达[i][j]位置的时候，所需要的最低初始健康点数。

但是回到刚才的分析，当往下走的时候，发现骑士死了，才知道初始给的健康点数是不对。

还需要重新给。

显然是不行的。因此以某个位置为结尾这种经验定状态标识是不行的，所以换一种。
以某个位置为起点，巴拉巴拉
dp[i][j] 表示：从[i][j] 为起点，到达终点，所需最低初始健康值

2.状态转移方程

还是根据最近的一步，划分问题

以[i][j]位置起点，下一步可以向下向右走。那走到下一步的时候是不是还要保证下一步还可以往下在走啊。

假设健康值是x ，然后往右走
是不是要保证 x + d[i][j] >= dp[i][j+1] ----> x >= dp[i][j+1] - d[i][j]
又因为所需的是最低初始健康值，因此往右走仅需 x = dp[i][j+1] - d[i][j]，同理往下走 x = dp[i+1][j] - d[i][j]

又因为所需最低初始健康值所以取它们中最小值。

其实这里还可以这样理解，dp[i][j]表示从[i][j]位置出发，到达终点，所需最低初始健康值。
每次只能向右向下走，[i][j]最近一步 [i][j+1] 和 [i+1][j]，那如果知道 dp[i][j+1]和dp[i+1][j] 到达终点，所需最低初始健康值，取它俩中最小，在减去 d[i][j] 到达终点，所需最低初始健康值了吗。
dp[i][j] =min(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) -d[i][j]

但是这里还有一个非常细的细节，如果dp[i][j] 等于一个负数怎么办。

也就是说d[i][j] 这里是一个很大的血包，dp[i][j] 为负值难道要一个死去的骑士要去救公主吗
显示是不合常识的，因此要处理一下。
这个血包就足以骑士走接下来的路，因此给骑士一个最低的健康点 1 就行了。
dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
确保骑士的血量不可为负数

3.初始化

多给一行一列

不过多给一行一列是给在下面的。
所以 下表映射没有改变~

只关注，虚拟节点的值，要保证接下来填表正确。

骑士走到右下角救到公主之后，向右向下走还必须保证骑士活着健康点还必须是最低，因此dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1
其他虚拟节点的值为了不影响dp[i][j]找 min，直接给+∞。

4.填表顺序

从右下角往左上角

5.返回值

dp[0][0]

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) 
    {
        //从 i,j 出发，到m,n的最小生命值
        int m=dungeon.size(),n=dungeon[0].size();

        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        //min 

        dp[m-1][n]=dp[m][n-1]=1;//要能 活着救公主

        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];  //-去 扣血，就是生命值
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);//不为负哦
            }
        }
        return dp[0][0];//从 0,0 出发~
    }
};