2.1 路径问题专题：LeetCode 62. 不同路径

动态规划解决LeetCode 62题：不同路径问题

1. 题目链接

LeetCode 62. 不同路径

2. 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起点标记为“Start”）。机器人每次只能向右或向下移动一步。机器人试图达到网格的右下角（标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？

示例：

• 输入：m = 3, n = 7
• 输出：28

3. 示例分析

以 m = 2, n = 2 为例，机器人需要从 (0,0) 移动到 (1,1)，可能的路径有两条：

1. 向右 -> 向下
2. 向下 -> 向右

动态规划表格初始化后，每个位置的值表示到达该位置的路径数。通过逐步填充表格，最终得到右下角的值即为答案。

4. 算法思路

动态规划状态定义

• 定义 dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 到达 (i-1, j-1) 位置的路径数（这里 i 和 j 从 1 开始，避免越界）。

状态转移方程

• 每个位置的路径数等于上方和左方位置的路径数之和：
  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

初始化技巧

• 初始化 dp[0][1] = 1，使得当计算 dp[1][1] 时，能够正确推导出初始值 1。通过这种方式，无需单独处理第一行和第一列的初始化。

5. 边界条件与注意事项

1. 网格维度为 1x1：直接返回 1。
2. 网格只有一行或一列：路径数始终为 1。
3. 索引处理：由于 dp 数组的维度为 (m+1) x (n+1)，遍历时需从 i=1 和 j=1 开始。

6. 代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        dp[0][1] = 1; // 巧妙初始化，便于计算第一格

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};

代码解析

• 初始化：dp[0][1] = 1 使得 dp[1][1] = 1，无需单独处理第一行或列。
• 双重循环：按行优先顺序填充表格，确保每个位置的上方和左方已被计算。
• 返回值：最终结果存储在 dp[m][n]，对应右下角的位置。

通过动态规划方法，时间复杂度为 O(mn)，空间复杂度为 O(mn)。此方法直观且易于理解，适合处理中等规模的网格路径问题。