“二分查找 + （必要时）前缀和” -- 处理 ’有序数组‘ 的区间问题汇总
例题1：
P3184 [USACO16DEC] Counting Haybales S - 洛谷
import sys, bisect
# def satisfied(hay):
# return True if hay in hays else False
data = sys.stdin.read().split()
data = iter(data)
ans = []
N = int(next(data))
Q = int(next(data))
hays = [int(next(data)) for _ in range(N)]
hays.sort() # 2 3 5 7 这样看区间比较直观
for _ in range(Q):
start = int(next(data))
end = int(next(data))
# .index() 太慢 -- 线性查找，不适合大数据 --> 建议bisect用于查找第一个target的位置
# interval = hays.index(end) - hays.index(start) + 1 # index从0开始，需补1
s_index = bisect.bisect_left(hays, start)
e_index = bisect.bisect_right(hays, end)
interval = e_index - s_index # # index从0开始，需补1
ans.append(interval)
sys.stdout.write("\n".join(map(str, ans)))题目1：区间和查询（Range Sum Query）
题目描述：
给定一个已排序的非负整数数组（长度 n），以及 Q 个查询。每个查询给出两个整数 L 和 R（表示数值），要求输出数组中所有落在 [L,R] 内的数的和；如果没有则输出 0。
import sys
import bisect
from itertools import accumulate
def range_sum_query():
data = sys.stdin.read().split()
it = iter(data)
n = int(next(it))
q = int(next(it))
# 读取数组（题目保证数组已排序，否则需要 sort）
arr = [int(next(it)) for _ in range(n)]
# 构造前缀和：prefix[i] 表示前 i 个元素的和（prefix[0]=0）
prefix = [0] + list(accumulate(arr))
out_lines = []
for _ in range(q):
L = int(next(it))
R = int(next(it))
# 左边界：第一个不小于 L 的位置
left = bisect.bisect_left(arr, L)
# 右边界：第一个大于 R 的位置
right = bisect.bisect_right(arr, R)
sum_val = prefix[right] - prefix[left]
out_lines.append(str(sum_val))
sys.stdout.write("\n".join(out_lines))
if __name__ == '__main__':
range_sum_query()
题目2：大于某值的元素计数
题目描述：
给定一个升序排列的数组和 Q个查询。每个查询给定一个整数 X，要求输出数组中大于 X 的元素个数
import sys, bisect
def count_greater():
data = sys.stdin.read().split()
it = iter(data)
n = int(next(it))
q = int(next(it))
arr = [int(next(it)) for _ in range(n)]
# 确保数组升序
arr.sort()
out_lines = []
for _ in range(q):
X = int(next(it))
pos = bisect.bisect_right(arr, X)
count = n - pos
out_lines.append(str(count))
sys.stdout.write("\n".join(out_lines))
if __name__ == '__main__':
count_greater()
题目3：指定区间内的平均值查询
题目描述：
给定一个排序好的数组和 Q 个查询，每个查询给出两个整数 L 和 R，要求计算数组中落在 [L,R] 内所有数的平均值；如果该区间内没有数字，则输出 -1
import sys, bisect
from itertools import accumulate
def interval_average_query():
data = sys.stdin.read().split()
it = iter(data)
n = int(next(it))
q = int(next(it))
arr = [int(next(it)) for _ in range(n)]
# 确保数组升序
arr.sort()
prefix = [0] + list(accumulate(arr))
out_lines = []
for _ in range(q):
L = int(next(it))
R = int(next(it))
left = bisect.bisect_left(arr, L)
right = bisect.bisect_right(arr, R)
count = right - left
if count == 0:
out_lines.append("-1")
else:
sum_val = prefix[right] - prefix[left]
avg = sum_val / count
out_lines.append(str(avg))
sys.stdout.write("\n".join(out_lines))
if __name__ == '__main__':
interval_average_query()
题目4：“近似”区间计数问题
题目描述：
给定一个升序排列的数组和 Q 个查询。每个查询给定两个整数 XX和 K，要求统计数组中所有与 X 的差值不超过 K 的元素个数，即统计区间 [X−K,X+K] 内的元素个数
import sys, bisect
def approximate_interval_count():
data = sys.stdin.read().split()
it = iter(data)
n = int(next(it))
q = int(next(it))
arr = [int(next(it)) for _ in range(n)]
arr.sort()
out_lines = []
for _ in range(q):
X = int(next(it))
K = int(next(it))
L = X - K
R = X + K
left = bisect.bisect_left(arr, L)
right = bisect.bisect_right(arr, R)
count = right - left
out_lines.append(str(count))
sys.stdout.write("\n".join(out_lines))
if __name__ == '__main__':
approximate_interval_count()
题目5：区间频率统计
题目描述：
给定一个升序排列的数组和 Q 个查询，每个查询给定一个目标值 X，要求输出 X 在数组中出现的次数
import sys, bisect
def frequency_count():
data = sys.stdin.read().split()
it = iter(data)
n = int(next(it))
q = int(next(it))
arr = [int(next(it)) for _ in range(n)]
arr.sort()
out_lines = []
for _ in range(q):
X = int(next(it))
left = bisect.bisect_left(arr, X)
right = bisect.bisect_right(arr, X)
count = right - left
out_lines.append(str(count))
sys.stdout.write("\n".join(out_lines))
if __name__ == '__main__':
frequency_count()