【算法中的数学】分解质因数

分解质因数题解

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867. 分解质因数 - AcWing题库

一、题目描述

给定 n 个正整数 aᵢ，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。每个正整数的质因数输出完毕后需要输出一个空行。

二、题目分析

这道题要求我们对给定的每个整数 aᵢ 进行质因数分解，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数及其指数。例如：

• 6 可以分解为 2¹ × 3¹
• 8 可以分解为 2³

三、解题思路

1. 对于每个数 a，从最小的质数 2 开始尝试除法
2. 如果 i 能整除 a，就不断除以 i 并计数，直到不能整除为止
3. 处理完所有可能的因数后，如果剩下的数大于 1，说明它本身就是一个质数
4. 按照从小到大的顺序输出所有质因数及其指数

四、算法讲解

使用试除法进行质因数分解：

1. 从 2 开始遍历到 √a，尝试每个可能的因数
2. 当找到一个能整除 a 的因数 i 时，不断除以 i 并计数，记录这个因数的指数
3. 由于我们从小到大遍历，所以能保证找到的因数都是质数（因为合数会被其质因数提前排除）
4. 最后检查剩余的数，如果大于 1 则它本身也是质因数

以输入 8 为例：

• 2 能整除 8，计数 3 次（8 → 4 → 2 → 1），输出 2 3
• 最后剩余 1 不大于 1，结束

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void solve()
{
    int a;
    cin >> a;
    // 从最小的质数2开始尝试除法
    for (int i = 2; i <= a / i; i ++)
    {
        if (a % i == 0)  // 如果i是a的因数
        {
            int s = 0;    // 记录指数
            while (a % i == 0)  // 不断除以i直到不能整除
            {
                a /= i;
                s ++;
            }
            cout << i << " " << s << "\n";  // 输出质因数及其指数
        } 
    }
    // 处理剩余的大于1的数（它本身是质数）
    if (a > 1)
        cout << a << " " << 1 << "\n";
    cout << "\n";  // 每个数处理完后输出空行
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t --)
        solve();
    return 0;
}

六、重点细节

1. 循环条件 i <= a / i：等价于 i ≤ √a，但避免了浮点数运算和溢出问题。
2. 完全除尽每个质因数：保证后续处理的都是更大的质因数。
3. 处理剩余的大质数：如果 a > 1，说明剩下的 a 本身是质数。
4. 输出格式：每个质因数占一行，每个数处理完后要输出空行。

七、复杂度分析

• 时间复杂度：O(n√a)，其中 n 是数字个数，a 是数字大小。对于每个数，最坏情况下需要遍历到 √a。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外变量。

八、总结

这道题考察了质因数分解的基本方法，使用试除法可以高效解决。关键点在于：

1. 从小到大尝试因数，保证找到的都是质数。
2. 完全除尽每个质因数。
3. 正确处理剩余的大质数情况。
4. 注意输出格式要求。