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N皇后问题(dfs回溯)

news 2025/7/3 21:08:07

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10; 
int n, ans = 0;
bool a[N], b[2 * N], c[2 * N]; // 列、主对角线、副对角线占用情况

void f(int i) {
    if (i == n+1) { // 成功放置 N 个皇后
        ans++;
        return;
    }
    
    for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历当前行的所有列
        if (!a[j] && !b[i - j + n] && !c[i + j]) { // 判断是否可放置
            a[j] = b[i - j + n] = c[i + j] = true; // 标记占用
            f(i + 1); // 递归尝试下一行
            a[j] = b[i - j + n] = c[i + j] = false; // 回溯，恢复状态
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    f(1); // 从第 1 行开始放置皇后
    cout << ans;
    return 0;
}

每次放置时，检查当前放置的皇后是否会与已放置的皇后发生冲突（检查列、主对角线、副对角线）

如果合法，就继续尝试放置下一个皇后

如果到达了棋盘的最后一行，且所有皇后都成功放置，则记录一种有效的解

回溯“恢复状态”，撤销当前的选择，并尝试其他可能的选择

a[N]: 用于标记每一列是否已被占用。

b[2 * N]: 用于标记每一条主对角线是否已被占用。主对角线的编号是 i - j + n，表示 (i, j) 位置上的皇后是否在该主对角线上。

c[2 * N]: 用于标记每一条副对角线是否已被占用。副对角线的编号是 i + j，表示 (i, j) 位置上的皇后是否在该副对角线上。

对于b[i - j + n]：

i - j：表示当前位置 (i, j) 所在的主对角线的编号。比如，i - j == 0 表示该位置位于主对角线的中心（即 (0,0) 到 (n-1,n-1) 的对角线），i - j == -1 或 i - j == 1 表示其他副对角线。
为什么要+ n：由于 i - j 可能是负数（如 i = 1, j = 2 时 i - j = -1），我们将其偏移，使得所有的对角线编号都变为非负数。这样就能保证数组 b 访问时不会越界。